Lahenda 40x^2-14x+1=0

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

Lahendage ja leidke x

$$x=\frac{1}{10}=0,1$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Juhised rühmitamise kaudu teguriteks lahutamise kasutamisel

Võrrandi lahendamiseks jaotage võrrandi vasak pool rühmitamise abil teguriteks. Esmalt tuleb vasak pool ümber kirjutada kujul 40x^{2}+ax+bx+1. a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

Kuna ab on positiivne, a ja b on sama märk. Kuna a+b on negatiivne, a ja b on mõlemad negatiivsed. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Arvutage iga paari summa.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Lahendus on paar, mis annab summa -14.

$$a=-10 b=-4$$

Kirjutage40x^{2}-14x+1 ümber kujul \left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right).

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

Lahutage 10x esimesel ja -1 teise rühma.

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

Tooge liige 4x-1 distributiivsusomadust kasutades sulgude ette.

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

Võrrandi lahenduste leidmiseks Lahendage 4x-1=0 ja 10x-1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 40, b väärtusega -14 ja c väärtusega 1.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

Tõstke -14 ruutu.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

Korrutage omavahel -4 ja 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

Liitke 196 ja -160.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

Leidke 36 ruutjuur.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

Arvu -14 vastand on 14.

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

Korrutage omavahel 2 ja 40.

$$x=\frac{14±6}{80}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{14±6}{80}, kui ± on pluss. Liitke 14 ja 6.

$$x=\frac{20}{80}$$

Taandage murd \frac{20}{80} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 20.

$$x=\frac{1}{4}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{14±6}{80}, kui ± on miinus. Lahutage 6 väärtusest 14.

$$x=\frac{8}{80}$$

Taandage murd \frac{8}{80} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 8.

$$x=\frac{1}{10}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 1.

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

1 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$40x^{2}-14x=-1$$

Jagage mõlemad pooled 40-ga.

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

40-ga jagamine võtab 40-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

Taandage murd \frac{-14}{40} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 2.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

Jagage liikme x kordaja -\frac{7}{20} 2-ga, et leida -\frac{7}{40}. Seejärel liitke -\frac{7}{40} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{7}{40} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

Liitke -\frac{1}{40} ja \frac{49}{1600}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

Lahutage x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

Lihtsustage.

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{7}{40}.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$