Lahenda 4x-y=5text{and}5y-4x=7

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x=2$$

$$y=3$$

Juhised asendamise kasutamisel

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see x-väärtuse suhtes, isoleerides x võrdusmärgist vasakule.

$$4x-y=5$$

Liitke võrrandi mõlema poolega y.

$$4x=y+5$$

Jagage mõlemad pooled 4-ga.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Korrutage omavahel \frac{1}{4} ja y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Asendage x teises võrrandis -4x+5y=7 väärtusega \frac{5+y}{4}.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Korrutage omavahel -4 ja \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Liitke -y ja 5y.

$$4y-5=7$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 5.

$$4y=12$$

Jagage mõlemad pooled 4-ga.

$$y=3$$

Asendage y võrrandis x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4} väärtusega 3. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Korrutage omavahel \frac{1}{4} ja 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Liitke \frac{5}{4} ja \frac{3}{4}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x=2$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=2,y=3$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=2,y=3$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

4x ja -4x võrdsustamiseks korrutage esimese võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed -4-ga ja teise võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 4-ga.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Lihtsustage.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Lahutage -16x+20y=28 võrrandist -16x+4y=-20, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Liitke -16x ja 16x. Liikmed -16x ja 16x taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$4y-20y=-20-28$$

Liitke 4y ja -20y.

$$-16y=-20-28$$

Liitke -20 ja -28.

$$-16y=-48$$

Jagage mõlemad pooled -16-ga.

$$y=3$$

Asendage y võrrandis -4x+5y=7 väärtusega 3. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$-4x+5\times 3=7$$

Korrutage omavahel 5 ja 3.

$$-4x+15=7$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 15.

$$-4x=-8$$

Jagage mõlemad pooled -4-ga.

$$x=2$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=2,y=3$$