Lahenda 4x-5y=2text{and}x+10y=41

$$4 x - 5 y = 2 \text { and } x + 10 y = 41$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x=5$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3,6$$

Juhised asendamise kasutamisel

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see x-väärtuse suhtes, isoleerides x võrdusmärgist vasakule.

$$4x-5y=2$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 5y.

$$4x=5y+2$$

Jagage mõlemad pooled 4-ga.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+2\right)$$

Korrutage omavahel \frac{1}{4} ja 5y+2.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

Asendage x teises võrrandis x+10y=41 väärtusega \frac{5y}{4}+\frac{1}{2}.

$$\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}+10y=41$$

Liitke \frac{5y}{4} ja 10y.

$$\frac{45}{4}y+\frac{1}{2}=41$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{1}{2}.

$$\frac{45}{4}y=\frac{81}{2}$$

Jagage võrrandi mõlemad pooled väärtusega \frac{45}{4}, mis on sama nagu mõlema poole korrutamine murru pöördväärtusega.

$$y=\frac{18}{5}$$

Asendage y võrrandis x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2} väärtusega \frac{18}{5}. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=\frac{5}{4}\times \frac{18}{5}+\frac{1}{2}$$

Korrutage omavahel \frac{5}{4} ja \frac{18}{5}, korrutades nimetajad omavahel ja lugejad omavahel. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x=\frac{9+1}{2}$$

Liitke \frac{1}{2} ja \frac{9}{2}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x=5$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{4\times 10-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{4\times 10-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{4\times 10-\left(-5\right)}&\frac{4}{4\times 10-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{45}&\frac{4}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 41\\-\frac{1}{45}\times 2+\frac{4}{45}\times 41\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

4x ja x võrdsustamiseks korrutage esimese võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 1-ga ja teise võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 4-ga.

$$4x-5y=2,4x+4\times 10y=4\times 41$$

Lihtsustage.

$$4x-5y=2,4x+40y=164$$

Lahutage 4x+40y=164 võrrandist 4x-5y=2, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$4x-4x-5y-40y=2-164$$

Liitke 4x ja -4x. Liikmed 4x ja -4x taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$-5y-40y=2-164$$

Liitke -5y ja -40y.

$$-45y=2-164$$

Liitke 2 ja -164.

$$-45y=-162$$

Jagage mõlemad pooled -45-ga.

$$y=\frac{18}{5}$$

Asendage y võrrandis x+10y=41 väärtusega \frac{18}{5}. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x+10\times \frac{18}{5}=41$$

Korrutage omavahel 10 ja \frac{18}{5}.

$$x+36=41$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 36.

$$x=5$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$