Lahenda 4x-5y=-14text{and}7x+y=-5

$$4 x - 5 y = - 14 \text { and } 7 x + y = - 5$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x=-1$$

$$y=2$$

Juhised asendamise kasutamisel

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see x-väärtuse suhtes, isoleerides x võrdusmärgist vasakule.

$$4x-5y=-14$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 5y.

$$4x=5y-14$$

Jagage mõlemad pooled 4-ga.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-14\right)$$

Korrutage omavahel \frac{1}{4} ja 5y-14.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

Asendage x teises võrrandis 7x+y=-5 väärtusega \frac{5y}{4}-\frac{7}{2}.

$$7\left(\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)+y=-5$$

Korrutage omavahel 7 ja \frac{5y}{4}-\frac{7}{2}.

$$\frac{35}{4}y-\frac{49}{2}+y=-5$$

Liitke \frac{35y}{4} ja y.

$$\frac{39}{4}y-\frac{49}{2}=-5$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{49}{2}.

$$\frac{39}{4}y=\frac{39}{2}$$

Jagage võrrandi mõlemad pooled väärtusega \frac{39}{4}, mis on sama nagu mõlema poole korrutamine murru pöördväärtusega.

$$y=2$$

Asendage y võrrandis x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2} väärtusega 2. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=\frac{5}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

Korrutage omavahel \frac{5}{4} ja 2.

$$x=\frac{5-7}{2}$$

Liitke -\frac{7}{2} ja \frac{5}{2}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x=-1$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=-1,y=2$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{7}{39}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}\left(-14\right)+\frac{5}{39}\left(-5\right)\\-\frac{7}{39}\left(-14\right)+\frac{4}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=-1,y=2$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

4x ja 7x võrdsustamiseks korrutage esimese võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 7-ga ja teise võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 4-ga.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\left(-14\right),4\times 7x+4y=4\left(-5\right)$$

Lihtsustage.

$$28x-35y=-98,28x+4y=-20$$

Lahutage 28x+4y=-20 võrrandist 28x-35y=-98, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$28x-28x-35y-4y=-98+20$$

Liitke 28x ja -28x. Liikmed 28x ja -28x taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$-35y-4y=-98+20$$

Liitke -35y ja -4y.

$$-39y=-98+20$$

Liitke -98 ja 20.

$$-39y=-78$$

Jagage mõlemad pooled -39-ga.

$$y=2$$

Asendage y võrrandis 7x+y=-5 väärtusega 2. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$7x+2=-5$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 2.

$$7x=-7$$

Jagage mõlemad pooled 7-ga.

$$x=-1$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=-1,y=2$$