Lahenda 4x^2-7x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x - 1 = 0$$

Lahendage ja leidke x

$$x = \frac{\sqrt{65} + 7}{8} \approx 1,882782219$$

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}\approx -0,132782219$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 4, b väärtusega -7 ja c väärtusega -1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Tõstke -7 ruutu.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel -16 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+16}}{2\times 4}$$

Liitke 49 ja 16.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Arvu -7 vastand on 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel 2 ja 4.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}, kui ± on pluss. Liitke 7 ja \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}, kui ± on miinus. Lahutage \sqrt{65} väärtusest 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 1.

$$4x^{2}-7x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$4x^{2}-7x=-\left(-1\right)$$

Lahutage -1 väärtusest 0.

$$4x^{2}-7x=1$$

Jagage mõlemad pooled 4-ga.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=\frac{1}{4}$$

4-ga jagamine võtab 4-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{1}{4}$$

Jagage liikme x kordaja -\frac{7}{4} 2-ga, et leida -\frac{7}{8}. Seejärel liitke -\frac{7}{8} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{7}{8} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Liitke \frac{1}{4} ja \frac{49}{64}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{65}{64}$$

Lahutage x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

Lihtsustage.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{7}{8}.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$