Lahenda 4x^2-2x+9=0

$$4 x ^ { 2 } - 2 x + 9 = 0$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4}\approx 0,25+1,479019946i$$

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}\approx 0,25-1,479019946i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$4x^{2}-2x+9=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 4, b väärtusega -2 ja c väärtusega 9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Tõstke -2 ruutu.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\times 9}}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel -16 ja 9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-144}}{2\times 4}$$

Liitke 4 ja -144.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-140}}{2\times 4}$$

Leidke -140 ruutjuur.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{35}i}{2\times 4}$$

Arvu -2 vastand on 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel 2 ja 4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8}, kui ± on pluss. Liitke 2 ja 2i\sqrt{35}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{35}i}{8}$$

Jagage 2+2i\sqrt{35} väärtusega 8.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8}, kui ± on miinus. Lahutage 2i\sqrt{35} väärtusest 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{35}i+2}{8}$$

Jagage 2-2i\sqrt{35} väärtusega 8.

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4} x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-2x+9=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 9.

$$4x^{2}-2x+9-9=-9$$

9 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$4x^{2}-2x=-9$$

Jagage mõlemad pooled 4-ga.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=-\frac{9}{4}$$

4-ga jagamine võtab 4-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=-\frac{9}{4}$$

Taandage murd \frac{-2}{4} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{9}{4}$$

Jagage liikme x kordaja -\frac{1}{2} 2-ga, et leida -\frac{1}{4}. Seejärel liitke -\frac{1}{4} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{1}{4} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{9}{4}+\frac{1}{16}$$

Liitke -\frac{9}{4} ja \frac{1}{16}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{35}{16}$$

Lahutage x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{35}{16}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{35}{16}}$$

Lihtsustage.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{35}i}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{35}i}{4}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{1}{4}.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4} x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$