Lahenda 4x^2-11x+30=16

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1,375+1,268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1,375-1,268611446i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 16.

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

16 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

Lahutage 16 väärtusest 30.

$$4x^{2}-11x+14=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 4, b väärtusega -11 ja c väärtusega 14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Tõstke -11 ruutu.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel -16 ja 14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

Liitke 121 ja -224.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

Leidke -103 ruutjuur.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Arvu -11 vastand on 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel 2 ja 4.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}, kui ± on pluss. Liitke 11 ja i\sqrt{103}.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}, kui ± on miinus. Lahutage i\sqrt{103} väärtusest 11.

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 30.

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

30 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$4x^{2}-11x=16-30$$

Lahutage 30 väärtusest 16.

$$4x^{2}-11x=-14$$

Jagage mõlemad pooled 4-ga.

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

4-ga jagamine võtab 4-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

Taandage murd \frac{-14}{4} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 2.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

Jagage liikme x kordaja -\frac{11}{4} 2-ga, et leida -\frac{11}{8}. Seejärel liitke -\frac{11}{8} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{11}{8} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

Liitke -\frac{7}{2} ja \frac{121}{64}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

Lahutage x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

Lihtsustage.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{11}{8}.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$