Lahenda 4x^2+4x+9=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0,5+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,414213562i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 4, b väärtusega 4 ja c väärtusega 9.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Tõstke 4 ruutu.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel -4 ja 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel -16 ja 9.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

Liitke 16 ja -144.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

Leidke -128 ruutjuur.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel 2 ja 4.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}, kui ± on pluss. Liitke -4 ja 8i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

Jagage -4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} väärtusega 8.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}, kui ± on miinus. Lahutage 8i\sqrt{2} väärtusest -4.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

Jagage -4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} väärtusega 8.

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 9.

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

9 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$4x^{2}+4x=-9$$

Jagage mõlemad pooled 4-ga.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

4-ga jagamine võtab 4-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

Jagage 4 väärtusega 4.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

Jagage liikme x kordaja 1 2-ga, et leida \frac{1}{2}. Seejärel liitke \frac{1}{2} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Tõstke \frac{1}{2} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

Liitke -\frac{9}{4} ja \frac{1}{4}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

Lahutage x^{2}+x+\frac{1}{4}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Lihtsustage.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{1}{2}.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$