Lahenda 4x^2+4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Lahendage ja leidke x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Juhised rühmitamise kaudu teguriteks lahutamise kasutamisel

Võrrandi lahendamiseks jaotage võrrandi vasak pool rühmitamise abil teguriteks. Esmalt tuleb vasak pool ümber kirjutada kujul 4x^{2}+ax+bx+1. a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=4 ab=4\times 1=4$$

Kuna ab on positiivne, a ja b on sama märk. Kuna a+b on positiivne, a ja b on mõlemad positiivne. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks 4.

$$1,4 2,2$$

Arvutage iga paari summa.

$$1+4=5 2+2=4$$

Lahendus on paar, mis annab summa 4.

$$a=2 b=2$$

Kirjutage4x^{2}+4x+1 ümber kujul \left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right).

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right)$$

Tooge 2x võrrandis 4x^{2}+2x sulgude ette.

$$2x\left(2x+1\right)+2x+1$$

Tooge liige 2x+1 distributiivsusomadust kasutades sulgude ette.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Kirjutage ümber kaksliikme ruuduna.

$$\left(2x+1\right)^{2}$$

Võrrandi lahendi leidmiseks lahendage 2x+1=0.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$4x^{2}+4x+1=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 4, b väärtusega 4 ja c väärtusega 1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Tõstke 4 ruutu.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel -4 ja 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Liitke 16 ja -16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Leidke 0 ruutjuur.

$$x=-\frac{4}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel 2 ja 4.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Taandage murd \frac{-4}{8} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+1=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 1.

$$4x^{2}+4x+1-1=-1$$

1 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$4x^{2}+4x=-1$$

Jagage mõlemad pooled 4-ga.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

4-ga jagamine võtab 4-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Jagage 4 väärtusega 4.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{4}$$

Jagage liikme x kordaja 1 2-ga, et leida \frac{1}{2}. Seejärel liitke \frac{1}{2} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Tõstke \frac{1}{2} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Liitke -\frac{1}{4} ja \frac{1}{4}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=0$$

Lahutage x^{2}+x+\frac{1}{4}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Lihtsustage.

$$x+\frac{1}{2}=0 x+\frac{1}{2}=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{1}{2}.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Võrrand on nüüd lahendatud. Lahendused on samad.

$$x=-\frac{1}{2}$$