Lahenda 4x^2+2x+3=1

$$4 x ^ { 2 } + 2 x + 3 = 1$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{4}\approx -0,25+0,661437828i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{4}\approx -0,25-0,661437828i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$4x^{2}+2x+3=1$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 1.

$$4x^{2}+2x+3-1=1-1$$

1 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$4x^{2}+2x+3-1=0$$

Lahutage 1 väärtusest 3.

$$4x^{2}+2x+2=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 4, b väärtusega 2 ja c väärtusega 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Tõstke 2 ruutu.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel -4 ja 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\times 2}}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel -16 ja 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-32}}{2\times 4}$$

Liitke 4 ja -32.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-28}}{2\times 4}$$

Leidke -28 ruutjuur.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{7}i}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel 2 ja 4.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{7}i}{8}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-2±2\sqrt{7}i}{8}, kui ± on pluss. Liitke -2 ja 2i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{7}i}{8}$$

Jagage -2+2i\sqrt{7} väärtusega 8.

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{4}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-2±2\sqrt{7}i}{8}, kui ± on miinus. Lahutage 2i\sqrt{7} väärtusest -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}i-2}{8}$$

Jagage -2-2i\sqrt{7} väärtusega 8.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{4}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{4}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+2x+3=1$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 3.

$$4x^{2}+2x+3-3=1-3$$

3 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$4x^{2}+2x=1-3$$

Lahutage 3 väärtusest 1.

$$4x^{2}+2x=-2$$

Jagage mõlemad pooled 4-ga.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=-\frac{2}{4}$$

4-ga jagamine võtab 4-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=-\frac{2}{4}$$

Taandage murd \frac{2}{4} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{2}{4}$$

Taandage murd \frac{-2}{4} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{2}$$

Jagage liikme x kordaja \frac{1}{2} 2-ga, et leida \frac{1}{4}. Seejärel liitke \frac{1}{4} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Tõstke \frac{1}{4} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Liitke -\frac{1}{2} ja \frac{1}{16}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{7}{16}$$

Lahutage x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

Lihtsustage.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{1}{4}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{4}$$