Lahenda 4x^2-5x+10=0

$$4 { x }^{ 2 } -5x+10=0$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8}\approx 0,625+1,452368755i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}\approx 0,625-1,452368755i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$4x^{2}-5x+10=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 4, b väärtusega -5 ja c väärtusega 10.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Tõstke -5 ruutu.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\times 10}}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel -16 ja 10.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-160}}{2\times 4}$$

Liitke 25 ja -160.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-135}}{2\times 4}$$

Leidke -135 ruutjuur.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

Arvu -5 vastand on 5.

$$x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel 2 ja 4.

$$x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8}, kui ± on pluss. Liitke 5 ja 3i\sqrt{15}.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8}, kui ± on miinus. Lahutage 3i\sqrt{15} väärtusest 5.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+10=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 10.

$$4x^{2}-5x+10-10=-10$$

10 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$4x^{2}-5x=-10$$

Jagage mõlemad pooled 4-ga.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{10}{4}$$

4-ga jagamine võtab 4-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{10}{4}$$

Taandage murd \frac{-10}{4} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 2.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{5}{2}$$

Jagage liikme x kordaja -\frac{5}{4} 2-ga, et leida -\frac{5}{8}. Seejärel liitke -\frac{5}{8} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{5}{8} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{5}{2}+\frac{25}{64}$$

Liitke -\frac{5}{2} ja \frac{25}{64}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{135}{64}$$

Lahutage x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{135}{64}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{135}{64}}$$

Lihtsustage.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3\sqrt{15}i}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3\sqrt{15}i}{8}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{5}{8}.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$