Lahenda 4x^2-4x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

Lahendage ja leidke x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Juhised rühmitamise kaudu teguriteks lahutamise kasutamisel

Võrrandi lahendamiseks jaotage võrrandi vasak pool rühmitamise abil teguriteks. Esmalt tuleb vasak pool ümber kirjutada kujul 4x^{2}+ax+bx-15. a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Kuna ab on negatiivne, a ja b on vastand märki. Kuna a+b on negatiivne, on negatiivne arv suurem kui positiivne väärtus. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Arvutage iga paari summa.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Lahendus on paar, mis annab summa -4.

$$a=-10 b=6$$

Kirjutage4x^{2}-4x-15 ümber kujul \left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

Lahutage 2x esimesel ja 3 teise rühma.

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Tooge liige 2x-5 distributiivsusomadust kasutades sulgude ette.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Võrrandi lahenduste leidmiseks Lahendage 2x-5=0 ja 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 4, b väärtusega -4 ja c väärtusega -15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Tõstke -4 ruutu.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel -16 ja -15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Liitke 16 ja 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Leidke 256 ruutjuur.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

Arvu -4 vastand on 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel 2 ja 4.

$$x=\frac{4±16}{8}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{4±16}{8}, kui ± on pluss. Liitke 4 ja 16.

$$x=\frac{20}{8}$$

Taandage murd \frac{20}{8} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{4±16}{8}, kui ± on miinus. Lahutage 16 väärtusest 4.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Taandage murd \frac{-12}{8} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 15.

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

Lahutage -15 väärtusest 0.

$$4x^{2}-4x=15$$

Jagage mõlemad pooled 4-ga.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

4-ga jagamine võtab 4-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

Jagage -4 väärtusega 4.

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

Jagage liikme x kordaja -1 2-ga, et leida -\frac{1}{2}. Seejärel liitke -\frac{1}{2} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{1}{2} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Liitke \frac{15}{4} ja \frac{1}{4}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

Lahutage x^{2}-x+\frac{1}{4}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Lihtsustage.

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{1}{2}.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$