Lahenda 4x^2-3x-1=0

$$4 { x }^{ 2 } -3x-1 = 0$$

Lahendage ja leidke x

$$x=-\frac{1}{4}=-0,25$$

$$x=1$$

Juhised rühmitamise kaudu teguriteks lahutamise kasutamisel

Võrrandi lahendamiseks jaotage võrrandi vasak pool rühmitamise abil teguriteks. Esmalt tuleb vasak pool ümber kirjutada kujul 4x^{2}+ax+bx-1. a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=-3 ab=4\left(-1\right)=-4$$

Kuna ab on negatiivne, a ja b on vastand märki. Kuna a+b on negatiivne, on negatiivne arv suurem kui positiivne väärtus. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks -4.

$$1,-4 2,-2$$

Arvutage iga paari summa.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Lahendus on paar, mis annab summa -3.

$$a=-4 b=1$$

Kirjutage4x^{2}-3x-1 ümber kujul \left(4x^{2}-4x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(x-1\right)$$

Tooge 4x võrrandis 4x^{2}-4x sulgude ette.

$$4x\left(x-1\right)+x-1$$

Tooge liige x-1 distributiivsusomadust kasutades sulgude ette.

$$\left(x-1\right)\left(4x+1\right)$$

Võrrandi lahenduste leidmiseks Lahendage x-1=0 ja 4x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{4}$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$4x^{2}-3x-1=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 4, b väärtusega -3 ja c väärtusega -1.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Tõstke -3 ruutu.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel -16 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+16}}{2\times 4}$$

Liitke 9 ja 16.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{25}}{2\times 4}$$

Leidke 25 ruutjuur.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±5}{2\times 4}$$

Arvu -3 vastand on 3.

$$x=\frac{3±5}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel 2 ja 4.

$$x=\frac{3±5}{8}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{3±5}{8}, kui ± on pluss. Liitke 3 ja 5.

$$x=\frac{8}{8}$$

Jagage 8 väärtusega 8.

$$x=1$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{3±5}{8}, kui ± on miinus. Lahutage 5 väärtusest 3.

$$x=-\frac{2}{8}$$

Taandage murd \frac{-2}{8} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 2.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=1 x=-\frac{1}{4}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-3x-1=0$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 1.

$$4x^{2}-3x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$4x^{2}-3x=-\left(-1\right)$$

Lahutage -1 väärtusest 0.

$$4x^{2}-3x=1$$

Jagage mõlemad pooled 4-ga.

$$\frac{4x^{2}-3x}{4}=\frac{1}{4}$$

4-ga jagamine võtab 4-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=\frac{1}{4}$$

Jagage liikme x kordaja -\frac{3}{4} 2-ga, et leida -\frac{3}{8}. Seejärel liitke -\frac{3}{8} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{3}{8} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

Liitke \frac{1}{4} ja \frac{9}{64}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

Lahutage x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Lihtsustage.

$$x-\frac{3}{8}=\frac{5}{8} x-\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{3}{8}.

$$x=1 x=-\frac{1}{4}$$