Lahenda 31x^2-3x+1=0

$$31 x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}\approx 0,048387097+0,172964602i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}\approx 0,048387097-0,172964602i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 31, b väärtusega -3 ja c väärtusega 1.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 31}}{2\times 31}$$

Tõstke -3 ruutu.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 31}}{2\times 31}$$

Korrutage omavahel -4 ja 31.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-124}}{2\times 31}$$

Liitke 9 ja -124.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-115}}{2\times 31}$$

Leidke -115 ruutjuur.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Arvu -3 vastand on 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Korrutage omavahel 2 ja 31.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62}, kui ± on pluss. Liitke 3 ja i\sqrt{115}.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62}, kui ± on miinus. Lahutage i\sqrt{115} väärtusest 3.

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 1.

$$31x^{2}-3x+1-1=-1$$

1 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$31x^{2}-3x=-1$$

Jagage mõlemad pooled 31-ga.

$$\frac{31x^{2}-3x}{31}=-\frac{1}{31}$$

31-ga jagamine võtab 31-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x=-\frac{1}{31}$$

Jagage liikme x kordaja -\frac{3}{31} 2-ga, et leida -\frac{3}{62}. Seejärel liitke -\frac{3}{62} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{1}{31}+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{3}{62} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{1}{31}+\frac{9}{3844}$$

Liitke -\frac{1}{31} ja \frac{9}{3844}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{115}{3844}$$

Lahutage x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{115}{3844}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{3844}}$$

Lihtsustage.

$$x-\frac{3}{62}=\frac{\sqrt{115}i}{62} x-\frac{3}{62}=-\frac{\sqrt{115}i}{62}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{3}{62}.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$