Lahenda 3z^2-z-5=0

$$3 z ^ { 2 } - z - 5 = 0$$

Lahendage ja leidke z

$$z = \frac{\sqrt{61} + 1}{6} \approx 1,468374946$$

$$z=\frac{1-\sqrt{61}}{6}\approx -1,135041613$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$3z^{2}-z-5=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 3, b väärtusega -1 ja c väärtusega -5.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Korrutage omavahel -4 ja 3.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Korrutage omavahel -12 ja -5.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+60}}{2\times 3}$$

Liitke 1 ja 60.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Arvu -1 vastand on 1.

$$z=\frac{1±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Korrutage omavahel 2 ja 3.

$$z=\frac{1±\sqrt{61}}{6}$$

Nüüd lahendage võrrand z=\frac{1±\sqrt{61}}{6}, kui ± on pluss. Liitke 1 ja \sqrt{61}.

$$z=\frac{\sqrt{61}+1}{6}$$

Nüüd lahendage võrrand z=\frac{1±\sqrt{61}}{6}, kui ± on miinus. Lahutage \sqrt{61} väärtusest 1.

$$z=\frac{1-\sqrt{61}}{6}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$z=\frac{\sqrt{61}+1}{6} z=\frac{1-\sqrt{61}}{6}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}-z-5=0$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 5.

$$3z^{2}-z-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$3z^{2}-z=-\left(-5\right)$$

Lahutage -5 väärtusest 0.

$$3z^{2}-z=5$$

Jagage mõlemad pooled 3-ga.

$$\frac{3z^{2}-z}{3}=\frac{5}{3}$$

3-ga jagamine võtab 3-ga korrutamise tagasi.

$$z^{2}-\frac{1}{3}z=\frac{5}{3}$$

Jagage liikme x kordaja -\frac{1}{3} 2-ga, et leida -\frac{1}{6}. Seejärel liitke -\frac{1}{6} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$z^{2}-\frac{1}{3}z+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{1}{6} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$z^{2}-\frac{1}{3}z+\frac{1}{36}=\frac{5}{3}+\frac{1}{36}$$

Liitke \frac{5}{3} ja \frac{1}{36}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$z^{2}-\frac{1}{3}z+\frac{1}{36}=\frac{61}{36}$$

Lahutage z^{2}-\frac{1}{3}z+\frac{1}{36}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{61}{36}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{36}}$$

Lihtsustage.

$$z-\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{61}}{6} z-\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{61}}{6}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{1}{6}.

$$z=\frac{\sqrt{61}+1}{6} z=\frac{1-\sqrt{61}}{6}$$