Lahenda 3z^2+14z-5

$$3 z ^ { 2 } + 14 z - 5$$

Lahuta teguriteks

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Lahenduse etapid

Jaotage avaldis rühmitamise abil teguriteks. Esmalt tuleb avaldis ümber kirjutada kui 3z^{2}+az+bz-5. a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=14 ab=3\left(-5\right)=-15$$

Kuna ab on negatiivne, a ja b on vastand märki. Kuna a+b on positiivne, on positiivne arv suurem kui negatiivne väärtus. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks -15.

$$-1,15 -3,5$$

Arvutage iga paari summa.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Lahendus on paar, mis annab summa 14.

$$a=-1 b=15$$

Kirjutage3z^{2}+14z-5 ümber kujul \left(3z^{2}-z\right)+\left(15z-5\right).

$$\left(3z^{2}-z\right)+\left(15z-5\right)$$

Lahutage z esimesel ja 5 teise rühma.

$$z\left(3z-1\right)+5\left(3z-1\right)$$

Tooge liige 3z-1 distributiivsusomadust kasutades sulgude ette.

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Ruutpolünoomi saab teguriteks lahutada teisendusega ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kus x_{1} ja x_{2} on ruutvõrrandi ax^{2}+bx+c=0 lahendid.

$$3z^{2}+14z-5=0$$

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$z=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Tõstke 14 ruutu.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Korrutage omavahel -4 ja 3.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Korrutage omavahel -12 ja -5.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196+60}}{2\times 3}$$

Liitke 196 ja 60.

$$z=\frac{-14±\sqrt{256}}{2\times 3}$$

Leidke 256 ruutjuur.

$$z=\frac{-14±16}{2\times 3}$$

Korrutage omavahel 2 ja 3.

$$z=\frac{-14±16}{6}$$

Nüüd lahendage võrrand z=\frac{-14±16}{6}, kui ± on pluss. Liitke -14 ja 16.

$$z=\frac{2}{6}$$

Taandage murd \frac{2}{6} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 2.

$$z=\frac{1}{3}$$

Nüüd lahendage võrrand z=\frac{-14±16}{6}, kui ± on miinus. Lahutage 16 väärtusest -14.

$$z=-\frac{30}{6}$$

Jagage -30 väärtusega 6.

$$z=-5$$

Lahutage algne avaldis teguriteks, kasutades valemit ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Asendage x_{1} väärtusega \frac{1}{3} ja x_{2} väärtusega -5.

$$3z^{2}+14z-5=3\left(z-\frac{1}{3}\right)\left(z-\left(-5\right)\right)$$

Lihtsustage kõik valemid, mis on kujul p-\left(-q\right) kujule p+q.

$$3z^{2}+14z-5=3\left(z-\frac{1}{3}\right)\left(z+5\right)$$

Lahutage z väärtusest \frac{1}{3}, leides ühise nimetaja ning lahutades lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$3z^{2}+14z-5=3\times \frac{3z-1}{3}\left(z+5\right)$$

Taandage suurim ühistegur 3 hulkades 3 ja 3.

$$3z^{2}+14z-5=\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Arvuta

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$