Lahenda 3x-5y=4;9x-2y=7

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x=\frac{9}{13}\approx 0,692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0,384615385$$

Juhised asendamise kasutamisel

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see x-väärtuse suhtes, isoleerides x võrdusmärgist vasakule.

$$3x-5y=4$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 5y.

$$3x=5y+4$$

Jagage mõlemad pooled 3-ga.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

Korrutage omavahel \frac{1}{3} ja 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Asendage x teises võrrandis 9x-2y=7 väärtusega \frac{5y+4}{3}.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

Korrutage omavahel 9 ja \frac{5y+4}{3}.

$$15y+12-2y=7$$

Liitke 15y ja -2y.

$$13y+12=7$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 12.

$$13y=-5$$

Jagage mõlemad pooled 13-ga.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Asendage y võrrandis x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3} väärtusega -\frac{5}{13}. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

Korrutage omavahel \frac{5}{3} ja -\frac{5}{13}, korrutades nimetajad omavahel ja lugejad omavahel. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

Liitke \frac{4}{3} ja -\frac{25}{39}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x=\frac{9}{13}$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

3x ja 9x võrdsustamiseks korrutage esimese võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 9-ga ja teise võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 3-ga.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

Lihtsustage.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

Lahutage 27x-6y=21 võrrandist 27x-45y=36, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

Liitke 27x ja -27x. Liikmed 27x ja -27x taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$-45y+6y=36-21$$

Liitke -45y ja 6y.

$$-39y=36-21$$

Liitke 36 ja -21.

$$-39y=15$$

Jagage mõlemad pooled -39-ga.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Asendage y võrrandis 9x-2y=7 väärtusega -\frac{5}{13}. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

Korrutage omavahel -2 ja -\frac{5}{13}.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{10}{13}.

$$9x=\frac{81}{13}$$

Jagage mõlemad pooled 9-ga.

$$x=\frac{9}{13}$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$