Lahenda 3x^2-2x+4=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x + 4 = 0$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3}\approx 0,333333333+1,105541597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}\approx 0,333333333-1,105541597i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$3x^{2}-2x+4=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 3, b väärtusega -2 ja c väärtusega 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Tõstke -2 ruutu.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Korrutage omavahel -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 4}}{2\times 3}$$

Korrutage omavahel -12 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48}}{2\times 3}$$

Liitke 4 ja -48.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-44}}{2\times 3}$$

Leidke -44 ruutjuur.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Arvu -2 vastand on 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Korrutage omavahel 2 ja 3.

$$x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6}, kui ± on pluss. Liitke 2 ja 2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{11}i}{6}$$

Jagage 2+2i\sqrt{11} väärtusega 6.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6}, kui ± on miinus. Lahutage 2i\sqrt{11} väärtusest 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i+2}{6}$$

Jagage 2-2i\sqrt{11} väärtusega 6.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x+4=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 4.

$$3x^{2}-2x+4-4=-4$$

4 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$3x^{2}-2x=-4$$

Jagage mõlemad pooled 3-ga.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{4}{3}$$

3-ga jagamine võtab 3-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Jagage liikme x kordaja -\frac{2}{3} 2-ga, et leida -\frac{1}{3}. Seejärel liitke -\frac{1}{3} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{1}{3} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{4}{3}+\frac{1}{9}$$

Liitke -\frac{4}{3} ja \frac{1}{9}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{11}{9}$$

Lahutage x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{11}{9}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{9}}$$

Lihtsustage.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{11}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{11}i}{3}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{1}{3}.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$