Lahenda 3x^2+2x+8=0

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 8 = 0$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{3}\approx -0,333333333+1,598610508i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{3}\approx -0,333333333-1,598610508i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$3x^{2}+2x+8=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 3, b väärtusega 2 ja c väärtusega 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

Tõstke 2 ruutu.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

Korrutage omavahel -4 ja 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12\times 8}}{2\times 3}$$

Korrutage omavahel -12 ja 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-96}}{2\times 3}$$

Liitke 4 ja -96.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-92}}{2\times 3}$$

Leidke -92 ruutjuur.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{2\times 3}$$

Korrutage omavahel 2 ja 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{6}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{6}, kui ± on pluss. Liitke -2 ja 2i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{23}i}{6}$$

Jagage -2+2i\sqrt{23} väärtusega 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{3}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{6}, kui ± on miinus. Lahutage 2i\sqrt{23} väärtusest -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{23}i-2}{6}$$

Jagage -2-2i\sqrt{23} väärtusega 6.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{3}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{3} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{3}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x+8=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 8.

$$3x^{2}+2x+8-8=-8$$

8 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$3x^{2}+2x=-8$$

Jagage mõlemad pooled 3-ga.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{8}{3}$$

3-ga jagamine võtab 3-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{8}{3}$$

Jagage liikme x kordaja \frac{2}{3} 2-ga, et leida \frac{1}{3}. Seejärel liitke \frac{1}{3} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Tõstke \frac{1}{3} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{8}{3}+\frac{1}{9}$$

Liitke -\frac{8}{3} ja \frac{1}{9}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{23}{9}$$

Lahutage x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{23}{9}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{9}}$$

Lihtsustage.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{23}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{23}i}{3}$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{3} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{3}$$