Lahenda 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Juhised asendamise kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Lahutage mõlemast poolest 6y.

$$3x+9-6y=0$$

Lahutage mõlemast poolest 9. Mis tahes arvu lahutamisel nullist on tulemuseks sama arvu negatiivne väärtus.

$$3x-6y=-9$$

Vaatleme teist võrrandit. Liitke 12 mõlemale poolele. Nulli liitmisel mis tahes väärtusele on tulemuseks sama väärtus.

$$-2x-2y=12$$

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see x-väärtuse suhtes, isoleerides x võrdusmärgist vasakule.

$$3x-6y=-9$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 6y.

$$3x=6y-9$$

Jagage mõlemad pooled 3-ga.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Korrutage omavahel \frac{1}{3} ja 6y-9.

$$x=2y-3$$

Asendage x teises võrrandis -2x-2y=12 väärtusega 2y-3.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Korrutage omavahel -2 ja 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Liitke -4y ja -2y.

$$-6y+6=12$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 6.

$$-6y=6$$

Jagage mõlemad pooled -6-ga.

$$y=-1$$

Asendage y võrrandis x=2y-3 väärtusega -1. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Korrutage omavahel 2 ja -1.

$$x=-2-3$$

Liitke -3 ja -2.

$$x=-5$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=-5,y=-1$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Lahutage mõlemast poolest 6y.

$$3x+9-6y=0$$

Lahutage mõlemast poolest 9. Mis tahes arvu lahutamisel nullist on tulemuseks sama arvu negatiivne väärtus.

$$3x-6y=-9$$

Vaatleme teist võrrandit. Liitke 12 mõlemale poolele. Nulli liitmisel mis tahes väärtusele on tulemuseks sama väärtus.

$$-2x-2y=12$$

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=-5,y=-1$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Lahutage mõlemast poolest 6y.

$$3x+9-6y=0$$

Lahutage mõlemast poolest 9. Mis tahes arvu lahutamisel nullist on tulemuseks sama arvu negatiivne väärtus.

$$3x-6y=-9$$

Vaatleme teist võrrandit. Liitke 12 mõlemale poolele. Nulli liitmisel mis tahes väärtusele on tulemuseks sama väärtus.

$$-2x-2y=12$$

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

3x ja -2x võrdsustamiseks korrutage esimese võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed -2-ga ja teise võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 3-ga.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Lihtsustage.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Lahutage -6x-6y=36 võrrandist -6x+12y=18, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Liitke -6x ja 6x. Liikmed -6x ja 6x taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$12y+6y=18-36$$

Liitke 12y ja 6y.

$$18y=18-36$$

Liitke 18 ja -36.

$$18y=-18$$

Jagage mõlemad pooled 18-ga.

$$y=-1$$

Asendage y võrrandis -2x-2y=12 väärtusega -1. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Korrutage omavahel -2 ja -1.

$$-2x+2=12$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 2.

$$-2x=10$$

Jagage mõlemad pooled -2-ga.

$$x=-5$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=-5,y=-1$$