Lahenda 3x+2y=8text{and}5x-4y=6

$$3 x + 2 y = 8 \text { and } 5 x - 4 y = 6$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x=2$$

$$y=1$$

Juhised asendamise kasutamisel

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see x-väärtuse suhtes, isoleerides x võrdusmärgist vasakule.

$$3x+2y=8$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 2y.

$$3x=-2y+8$$

Jagage mõlemad pooled 3-ga.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+8\right)$$

Korrutage omavahel \frac{1}{3} ja -2y+8.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

Asendage x teises võrrandis 5x-4y=6 väärtusega \frac{-2y+8}{3}.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)-4y=6$$

Korrutage omavahel 5 ja \frac{-2y+8}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}-4y=6$$

Liitke -\frac{10y}{3} ja -4y.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{40}{3}=6$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{40}{3}.

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{22}{3}$$

Jagage võrrandi mõlemad pooled väärtusega -\frac{22}{3}, mis on sama nagu mõlema poole korrutamine murru pöördväärtusega.

$$y=1$$

Asendage y võrrandis x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3} väärtusega 1. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=\frac{-2+8}{3}$$

Liitke \frac{8}{3} ja -\frac{2}{3}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x=2$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=2,y=1$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{1}{11}\times 6\\\frac{5}{22}\times 8-\frac{3}{22}\times 6\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=2,y=1$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

3x ja 5x võrdsustamiseks korrutage esimese võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 5-ga ja teise võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 3-ga.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 8,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 6$$

Lihtsustage.

$$15x+10y=40,15x-12y=18$$

Lahutage 15x-12y=18 võrrandist 15x+10y=40, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$15x-15x+10y+12y=40-18$$

Liitke 15x ja -15x. Tingimused 15x ja -15x tühistada, jättes võrrandi ainult ühe muutujaga, mida saab lahendada.

$$10y+12y=40-18$$

Liitke 10y ja 12y.

$$22y=40-18$$

Liitke 40 ja -18.

$$22y=22$$

Jagage mõlemad pooled 22-ga.

$$y=1$$

Asendage y võrrandis 5x-4y=6 väärtusega 1. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$5x-4=6$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 4.

$$5x=10$$

Jagage mõlemad pooled 5-ga.

$$x=2$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=2,y=1$$