Lahenda 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Lahendage ja leidke x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=12$$

Juhised rühmitamise kaudu teguriteks lahutamise kasutamisel

Võrrandi lahendamiseks jaotage võrrandi vasak pool rühmitamise abil teguriteks. Esmalt tuleb vasak pool ümber kirjutada kujul 3x^{2}+ax+bx-60. a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Kuna ab on negatiivne, a ja b on vastand märki. Kuna a+b on negatiivne, on negatiivne arv suurem kui positiivne väärtus. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Arvutage iga paari summa.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Lahendus on paar, mis annab summa -31.

$$a=-36 b=5$$

Kirjutage3x^{2}-31x-60 ümber kujul \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

Lahutage 3x esimesel ja 5 teise rühma.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Tooge liige x-12 distributiivsusomadust kasutades sulgude ette.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Võrrandi lahenduste leidmiseks Lahendage x-12=0 ja 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 3, b väärtusega -31 ja c väärtusega -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Tõstke -31 ruutu.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Korrutage omavahel -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Korrutage omavahel -12 ja -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Liitke 961 ja 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Leidke 1681 ruutjuur.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

Arvu -31 vastand on 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Korrutage omavahel 2 ja 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{31±41}{6}, kui ± on pluss. Liitke 31 ja 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

Jagage 72 väärtusega 6.

$$x=12$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{31±41}{6}, kui ± on miinus. Lahutage 41 väärtusest 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Taandage murd \frac{-10}{6} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 60.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

-60 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

Lahutage -60 väärtusest 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

Jagage mõlemad pooled 3-ga.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

3-ga jagamine võtab 3-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

Jagage 60 väärtusega 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Jagage liikme x kordaja -\frac{31}{3} 2-ga, et leida -\frac{31}{6}. Seejärel liitke -\frac{31}{6} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{31}{6} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Liitke 20 ja \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Lahutage x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Lihtsustage.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{31}{6}.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$