Lahenda 25y^2-75y+119=0

$$25 y ^ { 2 } - 75 y + 119 = 0$$

Lahendage ja leidke y

$$y=\frac{\sqrt{251}i}{10}+\frac{3}{2}\approx 1,5+1,584297952i$$

$$y=-\frac{\sqrt{251}i}{10}+\frac{3}{2}\approx 1,5-1,584297952i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$25y^{2}-75y+119=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 25, b väärtusega -75 ja c väärtusega 119.

$$y=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{\left(-75\right)^{2}-4\times 25\times 119}}{2\times 25}$$

Tõstke -75 ruutu.

$$y=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{5625-4\times 25\times 119}}{2\times 25}$$

Korrutage omavahel -4 ja 25.

$$y=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{5625-100\times 119}}{2\times 25}$$

Korrutage omavahel -100 ja 119.

$$y=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{5625-11900}}{2\times 25}$$

Liitke 5625 ja -11900.

$$y=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{-6275}}{2\times 25}$$

Leidke -6275 ruutjuur.

$$y=\frac{-\left(-75\right)±5\sqrt{251}i}{2\times 25}$$

Arvu -75 vastand on 75.

$$y=\frac{75±5\sqrt{251}i}{2\times 25}$$

Korrutage omavahel 2 ja 25.

$$y=\frac{75±5\sqrt{251}i}{50}$$

Nüüd lahendage võrrand y=\frac{75±5\sqrt{251}i}{50}, kui ± on pluss. Liitke 75 ja 5i\sqrt{251}.

$$y=\frac{75+5\sqrt{251}i}{50}$$

Jagage 75+5i\sqrt{251} väärtusega 50.

$$y=\frac{\sqrt{251}i}{10}+\frac{3}{2}$$

Nüüd lahendage võrrand y=\frac{75±5\sqrt{251}i}{50}, kui ± on miinus. Lahutage 5i\sqrt{251} väärtusest 75.

$$y=\frac{-5\sqrt{251}i+75}{50}$$

Jagage 75-5i\sqrt{251} väärtusega 50.

$$y=-\frac{\sqrt{251}i}{10}+\frac{3}{2}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$y=\frac{\sqrt{251}i}{10}+\frac{3}{2} y=-\frac{\sqrt{251}i}{10}+\frac{3}{2}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$25y^{2}-75y+119=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 119.

$$25y^{2}-75y+119-119=-119$$

119 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$25y^{2}-75y=-119$$

Jagage mõlemad pooled 25-ga.

$$\frac{25y^{2}-75y}{25}=-\frac{119}{25}$$

25-ga jagamine võtab 25-ga korrutamise tagasi.

$$y^{2}+\left(-\frac{75}{25}\right)y=-\frac{119}{25}$$

Jagage -75 väärtusega 25.

$$y^{2}-3y=-\frac{119}{25}$$

Jagage liikme x kordaja -3 2-ga, et leida -\frac{3}{2}. Seejärel liitke -\frac{3}{2} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$y^{2}-3y+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{119}{25}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{3}{2} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=-\frac{119}{25}+\frac{9}{4}$$

Liitke -\frac{119}{25} ja \frac{9}{4}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=-\frac{251}{100}$$

Lahutage y^{2}-3y+\frac{9}{4}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{251}{100}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{251}{100}}$$

Lihtsustage.

$$y-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{251}i}{10} y-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{251}i}{10}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{3}{2}.

$$y=\frac{\sqrt{251}i}{10}+\frac{3}{2} y=-\frac{\sqrt{251}i}{10}+\frac{3}{2}$$