Lahenda 25x^2-90x+82=0

$$25 x ^ { 2 } - 90 x + 82 = 0$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i=1,8+0,2i$$

$$x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i=1,8-0,2i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$25x^{2}-90x+82=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 25, b väärtusega -90 ja c väärtusega 82.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 25\times 82}}{2\times 25}$$

Tõstke -90 ruutu.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 25\times 82}}{2\times 25}$$

Korrutage omavahel -4 ja 25.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-100\times 82}}{2\times 25}$$

Korrutage omavahel -100 ja 82.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-8200}}{2\times 25}$$

Liitke 8100 ja -8200.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{-100}}{2\times 25}$$

Leidke -100 ruutjuur.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±10i}{2\times 25}$$

Arvu -90 vastand on 90.

$$x=\frac{90±10i}{2\times 25}$$

Korrutage omavahel 2 ja 25.

$$x=\frac{90±10i}{50}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{90±10i}{50}, kui ± on pluss. Liitke 90 ja 10i.

$$x=\frac{90+10i}{50}$$

Jagage 90+10i väärtusega 50.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{90±10i}{50}, kui ± on miinus. Lahutage 10i väärtusest 90.

$$x=\frac{90-10i}{50}$$

Jagage 90-10i väärtusega 50.

$$x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-90x+82=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 82.

$$25x^{2}-90x+82-82=-82$$

82 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$25x^{2}-90x=-82$$

Jagage mõlemad pooled 25-ga.

$$\frac{25x^{2}-90x}{25}=-\frac{82}{25}$$

25-ga jagamine võtab 25-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{25}\right)x=-\frac{82}{25}$$

Taandage murd \frac{-90}{25} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 5.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{82}{25}$$

Jagage liikme x kordaja -\frac{18}{5} 2-ga, et leida -\frac{9}{5}. Seejärel liitke -\frac{9}{5} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{82}{25}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{9}{5} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{-82+81}{25}$$

Liitke -\frac{82}{25} ja \frac{81}{25}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{1}{25}$$

Lahutage x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{25}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{25}}$$

Lihtsustage.

$$x-\frac{9}{5}=\frac{1}{5}i x-\frac{9}{5}=-\frac{1}{5}i$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{9}{5}.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$