Lahenda 20x^2-28x-1=0

$$20 x ^ { 2 } - 28 x - 1 = 0$$

Lahendage ja leidke x

$$x = \frac{3 \sqrt{6} + 7}{10} \approx 1,434846923$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}\approx -0,034846923$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 20, b väärtusega -28 ja c väärtusega -1.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Tõstke -28 ruutu.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Korrutage omavahel -4 ja 20.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Korrutage omavahel -80 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+80}}{2\times 20}$$

Liitke 784 ja 80.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{864}}{2\times 20}$$

Leidke 864 ruutjuur.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Arvu -28 vastand on 28.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Korrutage omavahel 2 ja 20.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}, kui ± on pluss. Liitke 28 ja 12\sqrt{6}.

$$x=\frac{12\sqrt{6}+28}{40}$$

Jagage 28+12\sqrt{6} väärtusega 40.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}, kui ± on miinus. Lahutage 12\sqrt{6} väärtusest 28.

$$x=\frac{28-12\sqrt{6}}{40}$$

Jagage 28-12\sqrt{6} väärtusega 40.

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 1.

$$20x^{2}-28x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$20x^{2}-28x=-\left(-1\right)$$

Lahutage -1 väärtusest 0.

$$20x^{2}-28x=1$$

Jagage mõlemad pooled 20-ga.

$$\frac{20x^{2}-28x}{20}=\frac{1}{20}$$

20-ga jagamine võtab 20-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{20}\right)x=\frac{1}{20}$$

Taandage murd \frac{-28}{20} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 4.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{1}{20}$$

Jagage liikme x kordaja -\frac{7}{5} 2-ga, et leida -\frac{7}{10}. Seejärel liitke -\frac{7}{10} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{7}{10} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{1}{20}+\frac{49}{100}$$

Liitke \frac{1}{20} ja \frac{49}{100}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{27}{50}$$

Lahutage x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{27}{50}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{50}}$$

Lihtsustage.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{3\sqrt{6}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{3\sqrt{6}}{10}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{7}{10}.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$