Lahenda 2z^2-2z+5=0

$$2 z ^ { 2 } - 2 z + 5 = 0$$

Lahendage ja leidke z

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i=0,5+1,5i$$

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i=0,5-1,5i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 2, b väärtusega -2 ja c väärtusega 5.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Tõstke -2 ruutu.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Korrutage omavahel -4 ja 2.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\times 5}}{2\times 2}$$

Korrutage omavahel -8 ja 5.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-40}}{2\times 2}$$

Liitke 4 ja -40.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-36}}{2\times 2}$$

Leidke -36 ruutjuur.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±6i}{2\times 2}$$

Arvu -2 vastand on 2.

$$z=\frac{2±6i}{2\times 2}$$

Korrutage omavahel 2 ja 2.

$$z=\frac{2±6i}{4}$$

Nüüd lahendage võrrand z=\frac{2±6i}{4}, kui ± on pluss. Liitke 2 ja 6i.

$$z=\frac{2+6i}{4}$$

Jagage 2+6i väärtusega 4.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$$

Nüüd lahendage võrrand z=\frac{2±6i}{4}, kui ± on miinus. Lahutage 6i väärtusest 2.

$$z=\frac{2-6i}{4}$$

Jagage 2-6i väärtusega 4.

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 5.

$$2z^{2}-2z+5-5=-5$$

5 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$2z^{2}-2z=-5$$

Jagage mõlemad pooled 2-ga.

$$\frac{2z^{2}-2z}{2}=-\frac{5}{2}$$

2-ga jagamine võtab 2-ga korrutamise tagasi.

$$z^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)z=-\frac{5}{2}$$

Jagage -2 väärtusega 2.

$$z^{2}-z=-\frac{5}{2}$$

Jagage liikme x kordaja -1 2-ga, et leida -\frac{1}{2}. Seejärel liitke -\frac{1}{2} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$z^{2}-z+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{1}{2} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{5}{2}+\frac{1}{4}$$

Liitke -\frac{5}{2} ja \frac{1}{4}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Lahutage z^{2}-z+\frac{1}{4}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9}{4}}$$

Lihtsustage.

$$z-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}i z-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}i$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{1}{2}.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$