Lahenda 2x-3y+10=0quadtext{KaHa}5x-y+4=0

$$2 x - 3 y + 10 = 0 \quad \text { KaHa } 5 x - y + 4 = 0$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x=-\frac{2}{13}\approx -0,153846154$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3,230769231$$

Juhised asendamise kasutamisel

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see x-väärtuse suhtes, isoleerides x võrdusmärgist vasakule.

$$2x-3y+10=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 10.

$$2x-3y=-10$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 3y.

$$2x=3y-10$$

Jagage mõlemad pooled 2-ga.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-10\right)$$

Korrutage omavahel \frac{1}{2} ja 3y-10.

$$x=\frac{3}{2}y-5$$

Asendage x teises võrrandis 5x-y+4=0 väärtusega \frac{3y}{2}-5.

$$5\left(\frac{3}{2}y-5\right)-y+4=0$$

Korrutage omavahel 5 ja \frac{3y}{2}-5.

$$\frac{15}{2}y-25-y+4=0$$

Liitke \frac{15y}{2} ja -y.

$$\frac{13}{2}y-25+4=0$$

Liitke -25 ja 4.

$$\frac{13}{2}y-21=0$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 21.

$$\frac{13}{2}y=21$$

Jagage võrrandi mõlemad pooled väärtusega \frac{13}{2}, mis on sama nagu mõlema poole korrutamine murru pöördväärtusega.

$$y=\frac{42}{13}$$

Asendage y võrrandis x=\frac{3}{2}y-5 väärtusega \frac{42}{13}. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{42}{13}-5$$

Korrutage omavahel \frac{3}{2} ja \frac{42}{13}, korrutades nimetajad omavahel ja lugejad omavahel. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x=\frac{63}{13}-5$$

Liitke -5 ja \frac{63}{13}.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-10\right)+\frac{3}{13}\left(-4\right)\\-\frac{5}{13}\left(-10\right)+\frac{2}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

2x ja 5x võrdsustamiseks korrutage esimese võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 5-ga ja teise võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 2-ga.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y+5\times 10=0,2\times 5x+2\left(-1\right)y+2\times 4=0$$

Lihtsustage.

$$10x-15y+50=0,10x-2y+8=0$$

Lahutage 10x-2y+8=0 võrrandist 10x-15y+50=0, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$10x-10x-15y+2y+50-8=0$$

Liitke 10x ja -10x. Liikmed 10x ja -10x taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$-15y+2y+50-8=0$$

Liitke -15y ja 2y.

$$-13y+50-8=0$$

Liitke 50 ja -8.

$$-13y+42=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 42.

$$-13y=-42$$

Jagage mõlemad pooled -13-ga.

$$y=\frac{42}{13}$$

Asendage y võrrandis 5x-y+4=0 väärtusega \frac{42}{13}. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$5x-\frac{42}{13}+4=0$$

Liitke -\frac{42}{13} ja 4.

$$5x+\frac{10}{13}=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{10}{13}.

$$5x=-\frac{10}{13}$$

Jagage mõlemad pooled 5-ga.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$