Lahenda 2x^2-5x+2xsqrt{x^2-5x+6}=3

$$2 x ^ { 2 } - 5 x + 2 x \sqrt { x ^ { 2 } - 5 x + 6 } = 3$$

Lahendage ja leidke x

$$x=3$$

Lahenduse etapid

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 2x^{2}-5x.

$$2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3-\left(2x^{2}-5x\right)$$

Avaldise "2x^{2}-5x" vastandi leidmiseks tuleb leida iga liikme vastand.

$$2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3-2x^{2}+5x$$

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(2x\sqrt{x^{2}-5x+6}\right)^{2}=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

Laiendage \left(2x\sqrt{x^{2}-5x+6}\right)^{2}.

$$2^{2}x^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x+6}\right)^{2}=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste 2 ja leidke 4.

$$4x^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x+6}\right)^{2}=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{x^{2}-5x+6} ja leidke x^{2}-5x+6.

$$4x^{2}\left(x^{2}-5x+6\right)=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada 4x^{2} ja x^{2}-5x+6.

$$4x^{4}-20x^{3}+24x^{2}=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

Tõstke 3-2x^{2}+5x ruutu.

$$4x^{4}-20x^{3}+24x^{2}=4x^{4}-20x^{3}+13x^{2}+30x+9$$

Lahutage mõlemast poolest 4x^{4}.

$$4x^{4}-20x^{3}+24x^{2}-4x^{4}=-20x^{3}+13x^{2}+30x+9$$

Kombineerige 4x^{4} ja -4x^{4}, et leida 0.

$$-20x^{3}+24x^{2}=-20x^{3}+13x^{2}+30x+9$$

Liitke 20x^{3} mõlemale poolele.

$$-20x^{3}+24x^{2}+20x^{3}=13x^{2}+30x+9$$

Kombineerige -20x^{3} ja 20x^{3}, et leida 0.

$$24x^{2}=13x^{2}+30x+9$$

Lahutage mõlemast poolest 13x^{2}.

$$24x^{2}-13x^{2}=30x+9$$

Kombineerige 24x^{2} ja -13x^{2}, et leida 11x^{2}.

$$11x^{2}=30x+9$$

Lahutage mõlemast poolest 30x.

$$11x^{2}-30x=9$$

Lahutage mõlemast poolest 9.

$$11x^{2}-30x-9=0$$

Võrrandi lahendamiseks jaotage võrrandi vasak pool rühmitamise abil teguriteks. Esmalt tuleb vasak pool ümber kirjutada kujul 11x^{2}+ax+bx-9. a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=-30 ab=11\left(-9\right)=-99$$

Kuna ab on negatiivne, a ja b on vastand märki. Kuna a+b on negatiivne, on negatiivne arv suurem kui positiivne väärtus. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks -99.

$$1,-99 3,-33 9,-11$$

Arvutage iga paari summa.

$$1-99=-98 3-33=-30 9-11=-2$$

Lahendus on paar, mis annab summa -30.

$$a=-33 b=3$$

Kirjutage11x^{2}-30x-9 ümber kujul \left(11x^{2}-33x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(11x^{2}-33x\right)+\left(3x-9\right)$$

Lahutage 11x esimesel ja 3 teise rühma.

$$11x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Tooge liige x-3 distributiivsusomadust kasutades sulgude ette.

$$\left(x-3\right)\left(11x+3\right)$$

Võrrandi lahenduste leidmiseks Lahendage x-3=0 ja 11x+3=0.

$$x=3 x=-\frac{3}{11}$$

Asendage x võrrandis 2x^{2}-5x+2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3 väärtusega 3.

$$2\times 3^{2}-5\times 3+2\times 3\sqrt{3^{2}-5\times 3+6}=3$$

Lihtsustage. Väärtus x=3 vastab võrrandile.

$$3=3$$

Asendage x võrrandis 2x^{2}-5x+2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3 väärtusega -\frac{3}{11}.

$$2\left(-\frac{3}{11}\right)^{2}-5\left(-\frac{3}{11}\right)+2\left(-\frac{3}{11}\right)\sqrt{\left(-\frac{3}{11}\right)^{2}-5\left(-\frac{3}{11}\right)+6}=3$$

Lihtsustage. Väärtus x=-\frac{3}{11} ei vasta võrrandit.

$$\frac{3}{121}=3$$

Võrrandil 2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3+5x-2x^{2} on ainus lahendus.

$$x=3$$