Lahenda 2x^2-2x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Lahendage ja leidke x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 2, b väärtusega -2 ja c väärtusega -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Tõstke -2 ruutu.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Korrutage omavahel -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Korrutage omavahel -8 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Liitke 4 ja 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Leidke 12 ruutjuur.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Arvu -2 vastand on 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Korrutage omavahel 2 ja 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}, kui ± on pluss. Liitke 2 ja 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

Jagage 2+2\sqrt{3} väärtusega 4.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}, kui ± on miinus. Lahutage 2\sqrt{3} väärtusest 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

Jagage 2-2\sqrt{3} väärtusega 4.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 1.

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Lahutage -1 väärtusest 0.

$$2x^{2}-2x=1$$

Jagage mõlemad pooled 2-ga.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

2-ga jagamine võtab 2-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

Jagage -2 väärtusega 2.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Jagage liikme x kordaja -1 2-ga, et leida -\frac{1}{2}. Seejärel liitke -\frac{1}{2} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{1}{2} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Liitke \frac{1}{2} ja \frac{1}{4}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Lahutage x^{2}-x+\frac{1}{4}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Lihtsustage.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{1}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$