Lahenda 2x^2+2x+1=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=-0,5+0,5i$$

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i=-0,5-0,5i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 2, b väärtusega 2 ja c väärtusega 1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

Tõstke 2 ruutu.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2}}{2\times 2}$$

Korrutage omavahel -4 ja 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8}}{2\times 2}$$

Liitke 4 ja -8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-4}}{2\times 2}$$

Leidke -4 ruutjuur.

$$x=\frac{-2±2i}{2\times 2}$$

Korrutage omavahel 2 ja 2.

$$x=\frac{-2±2i}{4}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-2±2i}{4}, kui ± on pluss. Liitke -2 ja 2i.

$$x=\frac{-2+2i}{4}$$

Jagage -2+2i väärtusega 4.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-2±2i}{4}, kui ± on miinus. Lahutage 2i väärtusest -2.

$$x=\frac{-2-2i}{4}$$

Jagage -2-2i väärtusega 4.

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 1.

$$2x^{2}+2x+1-1=-1$$

1 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$2x^{2}+2x=-1$$

Jagage mõlemad pooled 2-ga.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{1}{2}$$

2-ga jagamine võtab 2-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{1}{2}$$

Jagage 2 väärtusega 2.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{2}$$

Jagage liikme x kordaja 1 2-ga, et leida \frac{1}{2}. Seejärel liitke \frac{1}{2} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Tõstke \frac{1}{2} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Liitke -\frac{1}{2} ja \frac{1}{4}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

Lahutage x^{2}+x+\frac{1}{4}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

Lihtsustage.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}i x+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}i$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{1}{2}.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$