Lahenda 2x+y=1text{and}x-y=-4

$$2 x + y = 1 \text { and } x - y = - 4$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Juhised asendamise kasutamisel

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see x-väärtuse suhtes, isoleerides x võrdusmärgist vasakule.

$$2x+y=1$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest y.

$$2x=-y+1$$

Jagage mõlemad pooled 2-ga.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+1\right)$$

Korrutage omavahel \frac{1}{2} ja -y+1.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Asendage x teises võrrandis x-y=-4 väärtusega \frac{-y+1}{2}.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-y=-4$$

Liitke -\frac{y}{2} ja -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=-4$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{1}{2}.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{9}{2}$$

Jagage võrrandi mõlemad pooled väärtusega -\frac{3}{2}, mis on sama nagu mõlema poole korrutamine murru pöördväärtusega.

$$y=3$$

Asendage y võrrandis x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2} väärtusega 3. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}$$

Korrutage omavahel -\frac{1}{2} ja 3.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Liitke \frac{1}{2} ja -\frac{3}{2}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x=-1$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=-1,y=3$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(-4\right)\\\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=-1,y=3$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

2x ja x võrdsustamiseks korrutage esimese võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 1-ga ja teise võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 2-ga.

$$2x+y=1,2x+2\left(-1\right)y=2\left(-4\right)$$

Lihtsustage.

$$2x+y=1,2x-2y=-8$$

Lahutage 2x-2y=-8 võrrandist 2x+y=1, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$2x-2x+y+2y=1+8$$

Liitke 2x ja -2x. Liikmed 2x ja -2x taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$y+2y=1+8$$

Liitke y ja 2y.

$$3y=1+8$$

Liitke 1 ja 8.

$$3y=9$$

Jagage mõlemad pooled 3-ga.

$$y=3$$

Asendage y võrrandis x-y=-4 väärtusega 3. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x-3=-4$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 3.

$$x=-1$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=-1,y=3$$