Lahenda 2x+3y=6quadtext{and}quad6x-5y=4

$$2 x + 3 y = 6 \quad \text { and } \quad 6 x - 5 y = 4$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$y=1$$

Juhised asendamise kasutamisel

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see x-väärtuse suhtes, isoleerides x võrdusmärgist vasakule.

$$2x+3y=6$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 3y.

$$2x=-3y+6$$

Jagage mõlemad pooled 2-ga.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

Korrutage omavahel \frac{1}{2} ja -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Asendage x teises võrrandis 6x-5y=4 väärtusega -\frac{3y}{2}+3.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+3\right)-5y=4$$

Korrutage omavahel 6 ja -\frac{3y}{2}+3.

$$-9y+18-5y=4$$

Liitke -9y ja -5y.

$$-14y+18=4$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 18.

$$-14y=-14$$

Jagage mõlemad pooled -14-ga.

$$y=1$$

Asendage y võrrandis x=-\frac{3}{2}y+3 väärtusega 1. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=-\frac{3}{2}+3$$

Liitke 3 ja -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-5\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}&\frac{3}{28}\\\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}\times 6+\frac{3}{28}\times 4\\\frac{3}{14}\times 6-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

2x ja 6x võrdsustamiseks korrutage esimese võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 6-ga ja teise võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 2-ga.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 6,2\times 6x+2\left(-5\right)y=2\times 4$$

Lihtsustage.

$$12x+18y=36,12x-10y=8$$

Lahutage 12x-10y=8 võrrandist 12x+18y=36, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$12x-12x+18y+10y=36-8$$

Liitke 12x ja -12x. Liikmed 12x ja -12x taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$18y+10y=36-8$$

Liitke 18y ja 10y.

$$28y=36-8$$

Liitke 36 ja -8.

$$28y=28$$

Jagage mõlemad pooled 28-ga.

$$y=1$$

Asendage y võrrandis 6x-5y=4 väärtusega 1. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$6x-5=4$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 5.

$$6x=9$$

Jagage mõlemad pooled 6-ga.

$$x=\frac{3}{2}$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$