Lahenda 2k^2+9k=-7

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

Lahendage ja leidke k

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$k=-1$$

Juhised rühmitamise kaudu teguriteks lahutamise kasutamisel

Liitke 7 mõlemale poolele.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Võrrandi lahendamiseks jaotage võrrandi vasak pool rühmitamise abil teguriteks. Esmalt tuleb vasak pool ümber kirjutada kujul 2k^{2}+ak+bk+7. a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

Kuna ab on positiivne, a ja b on sama märk. Kuna a+b on positiivne, a ja b on mõlemad positiivne. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks 14.

$$1,14 2,7$$

Arvutage iga paari summa.

$$1+14=15 2+7=9$$

Lahendus on paar, mis annab summa 9.

$$a=2 b=7$$

Kirjutage2k^{2}+9k+7 ümber kujul \left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right).

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

Lahutage 2k esimesel ja 7 teise rühma.

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

Tooge liige k+1 distributiivsusomadust kasutades sulgude ette.

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

Võrrandi lahenduste leidmiseks Lahendage k+1=0 ja 2k+7=0.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 7.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

-7 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

Lahutage -7 väärtusest 0.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 2, b väärtusega 9 ja c väärtusega 7.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Tõstke 9 ruutu.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Korrutage omavahel -4 ja 2.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

Korrutage omavahel -8 ja 7.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

Liitke 81 ja -56.

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Leidke 25 ruutjuur.

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

Korrutage omavahel 2 ja 2.

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

Nüüd lahendage võrrand k=\frac{-9±5}{4}, kui ± on pluss. Liitke -9 ja 5.

$$k=-\frac{4}{4}$$

Jagage -4 väärtusega 4.

$$k=-1$$

Nüüd lahendage võrrand k=\frac{-9±5}{4}, kui ± on miinus. Lahutage 5 väärtusest -9.

$$k=-\frac{14}{4}$$

Taandage murd \frac{-14}{4} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 2.

$$k=-\frac{7}{2}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Jagage mõlemad pooled 2-ga.

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

2-ga jagamine võtab 2-ga korrutamise tagasi.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

Jagage liikme x kordaja \frac{9}{2} 2-ga, et leida \frac{9}{4}. Seejärel liitke \frac{9}{4} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Tõstke \frac{9}{4} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

Liitke -\frac{7}{2} ja \frac{81}{16}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

Lahutage k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Lihtsustage.

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{9}{4}.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$