Lahenda 2x^2-14x-54=0

$$2 { x }^{ 2 } -14x-54=0$$

Lahendage ja leidke x

$$x = \frac{\sqrt{157} + 7}{2} \approx 9,764982043$$

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}\approx -2,764982043$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 2, b väärtusega -14 ja c väärtusega -54.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Tõstke -14 ruutu.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Korrutage omavahel -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Korrutage omavahel -8 ja -54.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+432}}{2\times 2}$$

Liitke 196 ja 432.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{628}}{2\times 2}$$

Leidke 628 ruutjuur.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

Arvu -14 vastand on 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

Korrutage omavahel 2 ja 2.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}, kui ± on pluss. Liitke 14 ja 2\sqrt{157}.

$$x=\frac{2\sqrt{157}+14}{4}$$

Jagage 14+2\sqrt{157} väärtusega 4.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}, kui ± on miinus. Lahutage 2\sqrt{157} väärtusest 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{157}}{4}$$

Jagage 14-2\sqrt{157} väärtusega 4.

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 54.

$$2x^{2}-14x-54-\left(-54\right)=-\left(-54\right)$$

-54 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$2x^{2}-14x=-\left(-54\right)$$

Lahutage -54 väärtusest 0.

$$2x^{2}-14x=54$$

Jagage mõlemad pooled 2-ga.

$$\frac{2x^{2}-14x}{2}=\frac{54}{2}$$

2-ga jagamine võtab 2-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)x=\frac{54}{2}$$

Jagage -14 väärtusega 2.

$$x^{2}-7x=\frac{54}{2}$$

Jagage 54 väärtusega 2.

$$x^{2}-7x=27$$

Jagage liikme x kordaja -7 2-ga, et leida -\frac{7}{2}. Seejärel liitke -\frac{7}{2} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=27+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{7}{2} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=27+\frac{49}{4}$$

Liitke 27 ja \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{157}{4}$$

Lahutage x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

Lihtsustage.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{7}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$