Lahenda 2x^2+5x+29=0

$$2 { x }^{ 2 } +5x+29=0$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=\frac{-5+3\sqrt{23}i}{4}\approx -1,25+3,596873642i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{23}i-5}{4}\approx -1,25-3,596873642i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$2x^{2}+5x+29=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 2, b väärtusega 5 ja c väärtusega 29.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 29}}{2\times 2}$$

Tõstke 5 ruutu.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\times 29}}{2\times 2}$$

Korrutage omavahel -4 ja 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\times 29}}{2\times 2}$$

Korrutage omavahel -8 ja 29.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-232}}{2\times 2}$$

Liitke 25 ja -232.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-207}}{2\times 2}$$

Leidke -207 ruutjuur.

$$x=\frac{-5±3\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Korrutage omavahel 2 ja 2.

$$x=\frac{-5±3\sqrt{23}i}{4}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-5±3\sqrt{23}i}{4}, kui ± on pluss. Liitke -5 ja 3i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-5+3\sqrt{23}i}{4}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-5±3\sqrt{23}i}{4}, kui ± on miinus. Lahutage 3i\sqrt{23} väärtusest -5.

$$x=\frac{-3\sqrt{23}i-5}{4}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{-5+3\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-3\sqrt{23}i-5}{4}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+5x+29=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 29.

$$2x^{2}+5x+29-29=-29$$

29 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$2x^{2}+5x=-29$$

Jagage mõlemad pooled 2-ga.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=-\frac{29}{2}$$

2-ga jagamine võtab 2-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=-\frac{29}{2}$$

Jagage liikme x kordaja \frac{5}{2} 2-ga, et leida \frac{5}{4}. Seejärel liitke \frac{5}{4} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{29}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Tõstke \frac{5}{4} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{29}{2}+\frac{25}{16}$$

Liitke -\frac{29}{2} ja \frac{25}{16}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{207}{16}$$

Lahutage x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{207}{16}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{207}{16}}$$

Lihtsustage.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{3\sqrt{23}i}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{3\sqrt{23}i}{4}$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{5}{4}.

$$x=\frac{-5+3\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-3\sqrt{23}i-5}{4}$$