Lahenda 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

Lahendage ja leidke x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Juhised rühmitamise kaudu teguriteks lahutamise kasutamisel

Võrrandi lahendamiseks jaotage võrrandi vasak pool rühmitamise abil teguriteks. Esmalt tuleb vasak pool ümber kirjutada kujul 15x^{2}+ax+bx+2. a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

Kuna ab on positiivne, a ja b on sama märk. Kuna a+b on positiivne, a ja b on mõlemad positiivne. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Arvutage iga paari summa.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Lahendus on paar, mis annab summa 11.

$$a=5 b=6$$

Kirjutage15x^{2}+11x+2 ümber kujul \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right).

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Lahutage 5x esimesel ja 2 teise rühma.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Tooge liige 3x+1 distributiivsusomadust kasutades sulgude ette.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Võrrandi lahenduste leidmiseks Lahendage 3x+1=0 ja 5x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 15, b väärtusega 11 ja c väärtusega 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Tõstke 11 ruutu.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Korrutage omavahel -4 ja 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

Korrutage omavahel -60 ja 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Liitke 121 ja -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Leidke 1 ruutjuur.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

Korrutage omavahel 2 ja 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-11±1}{30}, kui ± on pluss. Liitke -11 ja 1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

Taandage murd \frac{-10}{30} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 10.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-11±1}{30}, kui ± on miinus. Lahutage 1 väärtusest -11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Taandage murd \frac{-12}{30} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 2.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

2 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Jagage mõlemad pooled 15-ga.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

15-ga jagamine võtab 15-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Jagage liikme x kordaja \frac{11}{15} 2-ga, et leida \frac{11}{30}. Seejärel liitke \frac{11}{30} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

Tõstke \frac{11}{30} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Liitke -\frac{2}{15} ja \frac{121}{900}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

Lahutage x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Lihtsustage.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{11}{30}.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$