Lahenda 12x^2-5x-3=0

$$12 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Lahendage ja leidke x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

Juhised rühmitamise kaudu teguriteks lahutamise kasutamisel

Võrrandi lahendamiseks jaotage võrrandi vasak pool rühmitamise abil teguriteks. Esmalt tuleb vasak pool ümber kirjutada kujul 12x^{2}+ax+bx-3. a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=-5 ab=12\left(-3\right)=-36$$

Kuna ab on negatiivne, a ja b on vastand märki. Kuna a+b on negatiivne, on negatiivne arv suurem kui positiivne väärtus. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Arvutage iga paari summa.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Lahendus on paar, mis annab summa -5.

$$a=-9 b=4$$

Kirjutage12x^{2}-5x-3 ümber kujul \left(12x^{2}-9x\right)+\left(4x-3\right).

$$\left(12x^{2}-9x\right)+\left(4x-3\right)$$

Tooge 3x võrrandis 12x^{2}-9x sulgude ette.

$$3x\left(4x-3\right)+4x-3$$

Tooge liige 4x-3 distributiivsusomadust kasutades sulgude ette.

$$\left(4x-3\right)\left(3x+1\right)$$

Võrrandi lahenduste leidmiseks Lahendage 4x-3=0 ja 3x+1=0.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{3}$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$12x^{2}-5x-3=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 12, b väärtusega -5 ja c väärtusega -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Tõstke -5 ruutu.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Korrutage omavahel -4 ja 12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-48\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Korrutage omavahel -48 ja -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\times 12}$$

Liitke 25 ja 144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\times 12}$$

Leidke 169 ruutjuur.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\times 12}$$

Arvu -5 vastand on 5.

$$x=\frac{5±13}{2\times 12}$$

Korrutage omavahel 2 ja 12.

$$x=\frac{5±13}{24}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{5±13}{24}, kui ± on pluss. Liitke 5 ja 13.

$$x=\frac{18}{24}$$

Taandage murd \frac{18}{24} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 6.

$$x=\frac{3}{4}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{5±13}{24}, kui ± on miinus. Lahutage 13 väärtusest 5.

$$x=-\frac{8}{24}$$

Taandage murd \frac{-8}{24} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 8.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{3}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-5x-3=0$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 3.

$$12x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$12x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Lahutage -3 väärtusest 0.

$$12x^{2}-5x=3$$

Jagage mõlemad pooled 12-ga.

$$\frac{12x^{2}-5x}{12}=\frac{3}{12}$$

12-ga jagamine võtab 12-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{3}{12}$$

Taandage murd \frac{3}{12} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 3.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{1}{4}$$

Jagage liikme x kordaja -\frac{5}{12} 2-ga, et leida -\frac{5}{24}. Seejärel liitke -\frac{5}{24} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{5}{24} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{1}{4}+\frac{25}{576}$$

Liitke \frac{1}{4} ja \frac{25}{576}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{169}{576}$$

Lahutage x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{169}{576}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{576}}$$

Lihtsustage.

$$x-\frac{5}{24}=\frac{13}{24} x-\frac{5}{24}=-\frac{13}{24}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{5}{24}.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{3}$$