Lahenda 11x^2-10x+13=0

$$11 x ^ { 2 } - 10 x + 13 = 0$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}\approx 0,454545455+0,987525499i$$

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}\approx 0,454545455-0,987525499i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 11, b väärtusega -10 ja c väärtusega 13.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

Tõstke -10 ruutu.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

Korrutage omavahel -4 ja 11.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-44\times 13}}{2\times 11}$$

Korrutage omavahel -44 ja 13.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-572}}{2\times 11}$$

Liitke 100 ja -572.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-472}}{2\times 11}$$

Leidke -472 ruutjuur.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

Arvu -10 vastand on 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

Korrutage omavahel 2 ja 11.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}, kui ± on pluss. Liitke 10 ja 2i\sqrt{118}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{118}i}{22}$$

Jagage 10+2i\sqrt{118} väärtusega 22.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}, kui ± on miinus. Lahutage 2i\sqrt{118} väärtusest 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{118}i+10}{22}$$

Jagage 10-2i\sqrt{118} väärtusega 22.

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 13.

$$11x^{2}-10x+13-13=-13$$

13 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$11x^{2}-10x=-13$$

Jagage mõlemad pooled 11-ga.

$$\frac{11x^{2}-10x}{11}=-\frac{13}{11}$$

11-ga jagamine võtab 11-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x=-\frac{13}{11}$$

Jagage liikme x kordaja -\frac{10}{11} 2-ga, et leida -\frac{5}{11}. Seejärel liitke -\frac{5}{11} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{13}{11}+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{5}{11} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{13}{11}+\frac{25}{121}$$

Liitke -\frac{13}{11} ja \frac{25}{121}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{118}{121}$$

Lahutage x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{118}{121}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{118}{121}}$$

Lihtsustage.

$$x-\frac{5}{11}=\frac{\sqrt{118}i}{11} x-\frac{5}{11}=-\frac{\sqrt{118}i}{11}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{5}{11}.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$