Lahenda 10y^2-31y+15

$$10 y ^ { 2 } - 31 y + 15$$

Lahuta teguriteks

$$\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)$$

Lahenduse etapid

Jaotage avaldis rühmitamise abil teguriteks. Esmalt tuleb avaldis ümber kirjutada kui 10y^{2}+ay+by+15. a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=-31 ab=10\times 15=150$$

Kuna ab on positiivne, a ja b on sama märk. Kuna a+b on negatiivne, a ja b on mõlemad negatiivsed. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks 150.

$$-1,-150 -2,-75 -3,-50 -5,-30 -6,-25 -10,-15$$

Arvutage iga paari summa.

$$-1-150=-151 -2-75=-77 -3-50=-53 -5-30=-35 -6-25=-31 -10-15=-25$$

Lahendus on paar, mis annab summa -31.

$$a=-25 b=-6$$

Kirjutage10y^{2}-31y+15 ümber kujul \left(10y^{2}-25y\right)+\left(-6y+15\right).

$$\left(10y^{2}-25y\right)+\left(-6y+15\right)$$

Lahutage 5y esimesel ja -3 teise rühma.

$$5y\left(2y-5\right)-3\left(2y-5\right)$$

Tooge liige 2y-5 distributiivsusomadust kasutades sulgude ette.

$$\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Ruutpolünoomi saab teguriteks lahutada teisendusega ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kus x_{1} ja x_{2} on ruutvõrrandi ax^{2}+bx+c=0 lahendid.

$$10y^{2}-31y+15=0$$

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 10\times 15}}{2\times 10}$$

Tõstke -31 ruutu.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 10\times 15}}{2\times 10}$$

Korrutage omavahel -4 ja 10.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-40\times 15}}{2\times 10}$$

Korrutage omavahel -40 ja 15.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-600}}{2\times 10}$$

Liitke 961 ja -600.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{361}}{2\times 10}$$

Leidke 361 ruutjuur.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±19}{2\times 10}$$

Arvu -31 vastand on 31.

$$y=\frac{31±19}{2\times 10}$$

Korrutage omavahel 2 ja 10.

$$y=\frac{31±19}{20}$$

Nüüd lahendage võrrand y=\frac{31±19}{20}, kui ± on pluss. Liitke 31 ja 19.

$$y=\frac{50}{20}$$

Taandage murd \frac{50}{20} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 10.

$$y=\frac{5}{2}$$

Nüüd lahendage võrrand y=\frac{31±19}{20}, kui ± on miinus. Lahutage 19 väärtusest 31.

$$y=\frac{12}{20}$$

Taandage murd \frac{12}{20} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 4.

$$y=\frac{3}{5}$$

Lahutage algne avaldis teguriteks, kasutades valemit ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Asendage x_{1} väärtusega \frac{5}{2} ja x_{2} väärtusega \frac{3}{5}.

$$10y^{2}-31y+15=10\left(y-\frac{5}{2}\right)\left(y-\frac{3}{5}\right)$$

Lahutage y väärtusest \frac{5}{2}, leides ühise nimetaja ning lahutades lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$10y^{2}-31y+15=10\times \frac{2y-5}{2}\left(y-\frac{3}{5}\right)$$

Lahutage y väärtusest \frac{3}{5}, leides ühise nimetaja ning lahutades lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$10y^{2}-31y+15=10\times \frac{2y-5}{2}\times \frac{5y-3}{5}$$

Korrutage omavahel \frac{2y-5}{2} ja \frac{5y-3}{5}, korrutades nimetajad omavahel ja lugejad omavahel. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$10y^{2}-31y+15=10\times \frac{\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)}{2\times 5}$$

Korrutage omavahel 2 ja 5.

$$10y^{2}-31y+15=10\times \frac{\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)}{10}$$

Taandage suurim ühistegur 10 hulkades 10 ja 10.

$$10y^{2}-31y+15=\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)$$

Arvuta

$$\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)$$