Lahenda 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Lahendage ja leidke k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0,1$$

Juhised rühmitamise kaudu teguriteks lahutamise kasutamisel

Võrrandi lahendamiseks jaotage võrrandi vasak pool rühmitamise abil teguriteks. Esmalt tuleb vasak pool ümber kirjutada kujul 10k^{2}+ak+bk-1. a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Kuna ab on negatiivne, a ja b on vastand märki. Kuna a+b on positiivne, on positiivne arv suurem kui negatiivne väärtus. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks -10.

$$-1,10 -2,5$$

Arvutage iga paari summa.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Lahendus on paar, mis annab summa 9.

$$a=-1 b=10$$

Kirjutage10k^{2}+9k-1 ümber kujul \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Tooge k võrrandis 10k^{2}-k sulgude ette.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Tooge liige 10k-1 distributiivsusomadust kasutades sulgude ette.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Võrrandi lahenduste leidmiseks Lahendage 10k-1=0 ja k+1=0.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 10, b väärtusega 9 ja c väärtusega -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Tõstke 9 ruutu.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Korrutage omavahel -4 ja 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Korrutage omavahel -40 ja -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Liitke 81 ja 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Leidke 121 ruutjuur.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Korrutage omavahel 2 ja 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Nüüd lahendage võrrand k=\frac{-9±11}{20}, kui ± on pluss. Liitke -9 ja 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Taandage murd \frac{2}{20} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 2.

$$k=\frac{1}{10}$$

Nüüd lahendage võrrand k=\frac{-9±11}{20}, kui ± on miinus. Lahutage 11 väärtusest -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

Jagage -20 väärtusega 20.

$$k=-1$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 1.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

Lahutage -1 väärtusest 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Jagage mõlemad pooled 10-ga.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

10-ga jagamine võtab 10-ga korrutamise tagasi.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Jagage liikme x kordaja \frac{9}{10} 2-ga, et leida \frac{9}{20}. Seejärel liitke \frac{9}{20} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Tõstke \frac{9}{20} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Liitke \frac{1}{10} ja \frac{81}{400}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Lahutage k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Lihtsustage.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{9}{20}.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$