Lahenda -4x^2+20x-47=0

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2,5-2,34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2,5+2,34520788i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega -4, b väärtusega 20 ja c väärtusega -47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Tõstke 20 ruutu.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Korrutage omavahel -4 ja -4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Korrutage omavahel 16 ja -47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

Liitke 400 ja -752.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

Leidke -352 ruutjuur.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

Korrutage omavahel 2 ja -4.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}, kui ± on pluss. Liitke -20 ja 4i\sqrt{22}.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

Jagage -20+4i\sqrt{22} väärtusega -8.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}, kui ± on miinus. Lahutage 4i\sqrt{22} väärtusest -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

Jagage -20-4i\sqrt{22} väärtusega -8.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 47.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

-47 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

Lahutage -47 väärtusest 0.

$$-4x^{2}+20x=47$$

Jagage mõlemad pooled -4-ga.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

-4-ga jagamine võtab -4-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

Jagage 20 väärtusega -4.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

Jagage 47 väärtusega -4.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

Jagage liikme x kordaja -5 2-ga, et leida -\frac{5}{2}. Seejärel liitke -\frac{5}{2} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{5}{2} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

Liitke -\frac{47}{4} ja \frac{25}{4}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

Lahutage x^{2}-5x+\frac{25}{4} teguriteks. Üldiselt, kui x^{2}+bx+c on täisruut, saab selle alati teguriteks lahutada kujul \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

Lihtsustage.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{5}{2}.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$