Lahenda -16t^2+96t-108

$$- 16 t ^ { 2 } + 96 t - 108$$

Lahuta teguriteks

$$4\left(3-2t\right)\left(2t-9\right)$$

Lahenduse etapid

Tooge 4 sulgude ette.

$$4\left(-4t^{2}+24t-27\right)$$

Mõelge valemile -4t^{2}+24t-27. Jaotage avaldis rühmitamise abil teguriteks. Esmalt tuleb avaldis ümber kirjutada kui -4t^{2}+at+bt-27. a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=24 ab=-4\left(-27\right)=108$$

Kuna ab on positiivne, a ja b on sama märk. Kuna a+b on positiivne, a ja b on mõlemad positiivne. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks 108.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

Arvutage iga paari summa.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

Lahendus on paar, mis annab summa 24.

$$a=18 b=6$$

Kirjutage-4t^{2}+24t-27 ümber kujul \left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right).

$$\left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right)$$

Lahutage -2t esimesel ja 3 teise rühma.

$$-2t\left(2t-9\right)+3\left(2t-9\right)$$

Tooge liige 2t-9 distributiivsusomadust kasutades sulgude ette.

$$\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Kirjutage ümber täielik teguriteks jaotatud avaldis.

$$4\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Ruutpolünoomi saab teguriteks lahutada teisendusega ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kus x_{1} ja x_{2} on ruutvõrrandi ax^{2}+bx+c=0 lahendid.

$$-16t^{2}+96t-108=0$$

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$t=\frac{-96±\sqrt{96^{2}-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Tõstke 96 ruutu.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Korrutage omavahel -4 ja -16.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216+64\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Korrutage omavahel 64 ja -108.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-6912}}{2\left(-16\right)}$$

Liitke 9216 ja -6912.

$$t=\frac{-96±\sqrt{2304}}{2\left(-16\right)}$$

Leidke 2304 ruutjuur.

$$t=\frac{-96±48}{2\left(-16\right)}$$

Korrutage omavahel 2 ja -16.

$$t=\frac{-96±48}{-32}$$

Nüüd lahendage võrrand t=\frac{-96±48}{-32}, kui ± on pluss. Liitke -96 ja 48.

$$t=-\frac{48}{-32}$$

Taandage murd \frac{-48}{-32} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 16.

$$t=\frac{3}{2}$$

Nüüd lahendage võrrand t=\frac{-96±48}{-32}, kui ± on miinus. Lahutage 48 väärtusest -96.

$$t=-\frac{144}{-32}$$

Taandage murd \frac{-144}{-32} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 16.

$$t=\frac{9}{2}$$

Lahutage algne avaldis teguriteks, kasutades valemit ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Asendage x_{1} väärtusega \frac{3}{2} ja x_{2} väärtusega \frac{9}{2}.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\left(t-\frac{3}{2}\right)\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Lahutage t väärtusest \frac{3}{2}, leides ühise nimetaja ning lahutades lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Lahutage t väärtusest \frac{9}{2}, leides ühise nimetaja ning lahutades lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\times \frac{-2t+9}{-2}$$

Korrutage omavahel \frac{-2t+3}{-2} ja \frac{-2t+9}{-2}, korrutades nimetajad omavahel ja lugejad omavahel. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{-2\left(-2\right)}$$

Korrutage omavahel -2 ja -2.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{4}$$

Taandage suurim ühistegur 4 hulkades -16 ja 4.

$$-16t^{2}+96t-108=-4\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)$$

Arvuta

$$-16t^{2}+96t-108$$