Lahenda (4x-1)(4x+1)=(5x-1)^2

$$( 4 x - 1 ) ( 4 x + 1 ) = ( 5 x - 1 ) ^ { 2 }$$

Lahendage ja leidke x

$$x=\frac{\sqrt{7}+5}{9}\approx 0,849527923$$

$$x=\frac{5-\sqrt{7}}{9}\approx 0,261583188$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Mõelge valemile \left(4x-1\right)\left(4x+1\right). Korrutustehte saab ruutude vaheks teisendada järgmise reegli abil: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Tõstke 1 ruutu.

$$\left(4x\right)^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Laiendage \left(4x\right)^{2}.

$$4^{2}x^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste 4 ja leidke 16.

$$16x^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Kasutage kaksliikme \left(5x-1\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$16x^{2}-1=25x^{2}-10x+1$$

Lahutage mõlemast poolest 25x^{2}.

$$16x^{2}-1-25x^{2}=-10x+1$$

Kombineerige 16x^{2} ja -25x^{2}, et leida -9x^{2}.

$$-9x^{2}-1=-10x+1$$

Liitke 10x mõlemale poolele.

$$-9x^{2}-1+10x=1$$

Lahutage mõlemast poolest 1.

$$-9x^{2}-1+10x-1=0$$

Lahutage 1 väärtusest -1, et leida -2.

$$-9x^{2}-2+10x=0$$

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$-9x^{2}+10x-2=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega -9, b väärtusega 10 ja c väärtusega -2.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-9\right)\left(-2\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Tõstke 10 ruutu.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-9\right)\left(-2\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Korrutage omavahel -4 ja -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+36\left(-2\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Korrutage omavahel 36 ja -2.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-72}}{2\left(-9\right)}$$

Liitke 100 ja -72.

$$x=\frac{-10±\sqrt{28}}{2\left(-9\right)}$$

Leidke 28 ruutjuur.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{7}}{2\left(-9\right)}$$

Korrutage omavahel 2 ja -9.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{7}}{-18}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-10±2\sqrt{7}}{-18}, kui ± on pluss. Liitke -10 ja 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-10}{-18}$$

Jagage -10+2\sqrt{7} väärtusega -18.

$$x=\frac{5-\sqrt{7}}{9}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-10±2\sqrt{7}}{-18}, kui ± on miinus. Lahutage 2\sqrt{7} väärtusest -10.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-10}{-18}$$

Jagage -10-2\sqrt{7} väärtusega -18.

$$x=\frac{\sqrt{7}+5}{9}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{5-\sqrt{7}}{9} x=\frac{\sqrt{7}+5}{9}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Mõelge valemile \left(4x-1\right)\left(4x+1\right). Korrutustehte saab ruutude vaheks teisendada järgmise reegli abil: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Tõstke 1 ruutu.

$$\left(4x\right)^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Laiendage \left(4x\right)^{2}.

$$4^{2}x^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste 4 ja leidke 16.

$$16x^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Kasutage kaksliikme \left(5x-1\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$16x^{2}-1=25x^{2}-10x+1$$

Lahutage mõlemast poolest 25x^{2}.

$$16x^{2}-1-25x^{2}=-10x+1$$

Kombineerige 16x^{2} ja -25x^{2}, et leida -9x^{2}.

$$-9x^{2}-1=-10x+1$$

Liitke 10x mõlemale poolele.

$$-9x^{2}-1+10x=1$$

Liitke 1 mõlemale poolele.

$$-9x^{2}+10x=1+1$$

Liitke 1 ja 1, et leida 2.

$$-9x^{2}+10x=2$$

Jagage mõlemad pooled -9-ga.

$$\frac{-9x^{2}+10x}{-9}=\frac{2}{-9}$$

-9-ga jagamine võtab -9-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\frac{10}{-9}x=\frac{2}{-9}$$

Jagage 10 väärtusega -9.

$$x^{2}-\frac{10}{9}x=\frac{2}{-9}$$

Jagage 2 väärtusega -9.

$$x^{2}-\frac{10}{9}x=-\frac{2}{9}$$

Jagage liikme x kordaja -\frac{10}{9} 2-ga, et leida -\frac{5}{9}. Seejärel liitke -\frac{5}{9} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}-\frac{10}{9}x+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{5}{9} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}-\frac{10}{9}x+\frac{25}{81}=-\frac{2}{9}+\frac{25}{81}$$

Liitke -\frac{2}{9} ja \frac{25}{81}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}-\frac{10}{9}x+\frac{25}{81}=\frac{7}{81}$$

Lahutage x^{2}-\frac{10}{9}x+\frac{25}{81}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{9}\right)^{2}=\frac{7}{81}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{81}}$$

Lihtsustage.

$$x-\frac{5}{9}=\frac{\sqrt{7}}{9} x-\frac{5}{9}=-\frac{\sqrt{7}}{9}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{5}{9}.

$$x=\frac{\sqrt{7}+5}{9} x=\frac{5-\sqrt{7}}{9}$$