Lahenda (2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

Lahendage ja leidke x

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2,195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2,195955879$$

$$x=1$$

Lahenduse etapid

Kasutage kaksliikme \left(2x+4\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

Kasutage kaksliikme \left(3x-2\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

Avaldise "9x^{2}-12x+4" vastandi leidmiseks tuleb leida iga liikme vastand.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

Kombineerige -9x^{2} ja -40x^{2}, et leida -49x^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

Liitke 205 mõlemale poolele.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

Liitke -4 ja 205, et leida 201.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada -5x ja 7-3x.

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada -35x+15x^{2} ja 7+3x, ning koondage sarnased liikmed.

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Kombineerige 16x ja -245x, et leida -229x.

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Kombineerige 4x^{2} ja -49x^{2}, et leida -45x^{2}.

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

Kombineerige -229x ja 12x, et leida -217x.

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

Liitke 16 ja 201, et leida 217.

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

Korraldage võrrand ümber, et viia see standardkujule. Järjestage liikmed astmete järgi (kõrgemast madalamani).

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

Ratsionaalarvuliste nullkohtade teoreemi järgi on kõik polünoomi ratsionaalarvulised nullkohad kujul \frac{p}{q}, kus p jagab konstantliikme 217 ja q jagab pealiikme kordaja 45. Loetlege kõik kandidaadid \frac{p}{q}.

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

Ühe sellise juure leidmiseks proovige kõiki täisarvulisi väärtusi alates väikseimast (absoluutväärtuse alusel). Kui täisarvulisi juuri ei leita, proovige murdarve.

$$x=1$$

Teoreem korral x-k on polünoomi liikmete iga juure k. Jagage 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 väärtusega x-1, et leida 45x^{2}-217. Lahendage võrrand, mille tulemus võrdub 0.

$$45x^{2}-217=0$$

Kõik võrrandid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Asendage a ruutvõrrandis väärtusega 45, b väärtusega 0 ja c väärtusega -217.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

Tehke arvutustehted.

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

Lahendage võrrand 45x^{2}-217=0, kui ± on pluss ja kui ± on miinus.

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

Loetlege kõik leitud lahendused.

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$