Lahenda (-x+7)(sqrt{x^2+2x+5})=(x+1)(sqrt{x^2-14x+65})

$$( - x + 7 ) ( \sqrt { x ^ { 2 } + 2 x + 5 } ) = ( x + 1 ) ( \sqrt { x ^ { 2 } - 14 x + 65 } )$$

Lahendage ja leidke x

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Lahenduse etapid

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(\left(-x+7\right)\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada -x+7 ja \sqrt{x^{2}+2x+5}.

$$\left(\left(-x\right)\sqrt{x^{2}+2x+5}+7\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Kasutage kaksliikme \left(\left(-x\right)\sqrt{x^{2}+2x+5}+7\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\left(-x\right)^{2}\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}+14\left(-x\right)\sqrt{x^{2}+2x+5}\sqrt{x^{2}+2x+5}+49\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Korrutage \sqrt{x^{2}+2x+5} ja \sqrt{x^{2}+2x+5}, et leida \left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}.

$$\left(-x\right)^{2}\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}+14\left(-x\right)\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}+49\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste -x ja leidke x^{2}.

$$x^{2}\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}+14\left(-x\right)\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}+49\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{x^{2}+2x+5} ja leidke x^{2}+2x+5.

$$x^{2}\left(x^{2}+2x+5\right)+14\left(-x\right)\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}+49\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada x^{2} ja x^{2}+2x+5.

$$x^{4}+2x^{3}+5x^{2}+14\left(-x\right)\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}+49\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{x^{2}+2x+5} ja leidke x^{2}+2x+5.

$$x^{4}+2x^{3}+5x^{2}+14\left(-x\right)\left(x^{2}+2x+5\right)+49\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada 14\left(-x\right) ja x^{2}+2x+5.

$$x^{4}+2x^{3}+5x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+49\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{x^{2}+2x+5} ja leidke x^{2}+2x+5.

$$x^{4}+2x^{3}+5x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+49\left(x^{2}+2x+5\right)=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada 49 ja x^{2}+2x+5.

$$x^{4}+2x^{3}+5x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+49x^{2}+98x+245=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Kombineerige 5x^{2} ja 49x^{2}, et leida 54x^{2}.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada x+1 ja \sqrt{x^{2}-14x+65}.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=\left(x\sqrt{x^{2}-14x+65}+\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Kasutage kaksliikme \left(x\sqrt{x^{2}-14x+65}+\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{2}\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}+2x\sqrt{x^{2}-14x+65}\sqrt{x^{2}-14x+65}+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Korrutage \sqrt{x^{2}-14x+65} ja \sqrt{x^{2}-14x+65}, et leida \left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{2}\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}+2x\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{x^{2}-14x+65} ja leidke x^{2}-14x+65.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{2}\left(x^{2}-14x+65\right)+2x\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada x^{2} ja x^{2}-14x+65.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-14x^{3}+65x^{2}+2x\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{x^{2}-14x+65} ja leidke x^{2}-14x+65.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-14x^{3}+65x^{2}+2x\left(x^{2}-14x+65\right)+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada 2x ja x^{2}-14x+65.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-14x^{3}+65x^{2}+2x^{3}-28x^{2}+130x+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Kombineerige -14x^{3} ja 2x^{3}, et leida -12x^{3}.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-12x^{3}+65x^{2}-28x^{2}+130x+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Kombineerige 65x^{2} ja -28x^{2}, et leida 37x^{2}.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-12x^{3}+37x^{2}+130x+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{x^{2}-14x+65} ja leidke x^{2}-14x+65.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-12x^{3}+37x^{2}+130x+x^{2}-14x+65$$

Kombineerige 37x^{2} ja x^{2}, et leida 38x^{2}.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-12x^{3}+38x^{2}+130x-14x+65$$

Kombineerige 130x ja -14x, et leida 116x.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-12x^{3}+38x^{2}+116x+65$$

Lahutage mõlemast poolest x^{4}.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245-x^{4}=-12x^{3}+38x^{2}+116x+65$$

Kombineerige x^{4} ja -x^{4}, et leida 0.

$$2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=-12x^{3}+38x^{2}+116x+65$$

Liitke 12x^{3} mõlemale poolele.

$$2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245+12x^{3}=38x^{2}+116x+65$$

Kombineerige 2x^{3} ja 12x^{3}, et leida 14x^{3}.

$$14x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=38x^{2}+116x+65$$

Lahutage mõlemast poolest 38x^{2}.

$$14x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245-38x^{2}=116x+65$$

Kombineerige 54x^{2} ja -38x^{2}, et leida 16x^{2}.

$$14x^{3}+16x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=116x+65$$

Lahutage mõlemast poolest 116x.

$$14x^{3}+16x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245-116x=65$$

Kombineerige 98x ja -116x, et leida -18x.

$$14x^{3}+16x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)-18x+245=65$$

Lahutage mõlemast poolest 65.

$$14x^{3}+16x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)-18x+245-65=0$$

Lahutage 65 väärtusest 245, et leida 180.

$$14x^{3}+16x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)-18x+180=0$$

Sama alusega astmete korrutamiseks liitke astendajad. Liitke 1 ja 2, et saada 3.

$$14x^{3}+16x^{2}+14\left(-1\right)x^{3}+28\left(-1\right)xx+70\left(-1\right)x-18x+180=0$$

Korrutage 14 ja -1, et leida -14.

$$14x^{3}+16x^{2}-14x^{3}+28\left(-1\right)xx+70\left(-1\right)x-18x+180=0$$

Kombineerige 14x^{3} ja -14x^{3}, et leida 0.

$$16x^{2}+28\left(-1\right)xx+70\left(-1\right)x-18x+180=0$$

Korrutage x ja x, et leida x^{2}.

$$16x^{2}+28\left(-1\right)x^{2}+70\left(-1\right)x-18x+180=0$$

Korrutage 28 ja -1, et leida -28.

$$16x^{2}-28x^{2}+70\left(-1\right)x-18x+180=0$$

Kombineerige 16x^{2} ja -28x^{2}, et leida -12x^{2}.

$$-12x^{2}+70\left(-1\right)x-18x+180=0$$

Korrutage 70 ja -1, et leida -70.

$$-12x^{2}-70x-18x+180=0$$

Kombineerige -70x ja -18x, et leida -88x.

$$-12x^{2}-88x+180=0$$

Jagage mõlemad pooled 4-ga.

$$-3x^{2}-22x+45=0$$

Võrrandi lahendamiseks jaotage võrrandi vasak pool rühmitamise abil teguriteks. Esmalt tuleb vasak pool ümber kirjutada kujul -3x^{2}+ax+bx+45. a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=-22 ab=-3\times 45=-135$$

Kuna ab on negatiivne, a ja b on vastand märki. Kuna a+b on negatiivne, on negatiivne arv suurem kui positiivne väärtus. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks -135.

$$1,-135 3,-45 5,-27 9,-15$$

Arvutage iga paari summa.

$$1-135=-134 3-45=-42 5-27=-22 9-15=-6$$

Lahendus on paar, mis annab summa -22.

$$a=5 b=-27$$

Kirjutage-3x^{2}-22x+45 ümber kujul \left(-3x^{2}+5x\right)+\left(-27x+45\right).

$$\left(-3x^{2}+5x\right)+\left(-27x+45\right)$$

Lahutage -x esimesel ja -9 teise rühma.

$$-x\left(3x-5\right)-9\left(3x-5\right)$$

Tooge liige 3x-5 distributiivsusomadust kasutades sulgude ette.

$$\left(3x-5\right)\left(-x-9\right)$$

Võrrandi lahenduste leidmiseks Lahendage 3x-5=0 ja -x-9=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-9$$

Asendage x võrrandis \left(-x+7\right)\sqrt{x^{2}+2x+5}=\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65} väärtusega \frac{5}{3}.

$$\left(-\frac{5}{3}+7\right)\sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^{2}+2\times \frac{5}{3}+5}=\left(\frac{5}{3}+1\right)\sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^{2}-14\times \frac{5}{3}+65}$$

Lihtsustage. Väärtus x=\frac{5}{3} vastab võrrandile.

$$\frac{160}{9}=\frac{160}{9}$$

Asendage x võrrandis \left(-x+7\right)\sqrt{x^{2}+2x+5}=\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65} väärtusega -9.

$$\left(-\left(-9\right)+7\right)\sqrt{\left(-9\right)^{2}+2\left(-9\right)+5}=\left(-9+1\right)\sqrt{\left(-9\right)^{2}-14\left(-9\right)+65}$$

Lihtsustage. Väärtus x=-9 ei vasta võrrandile, sest vasakul ja paremal pool on vastandmärgid.

$$32\times 17^{\frac{1}{2}}=-32\times 17^{\frac{1}{2}}$$

Võrrandil \left(7-x\right)\sqrt{x^{2}+2x+5}=\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65} on ainus lahendus.

$$x=\frac{5}{3}$$