Lahenda x^2-x-1>0

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

Lahenda väärtuse x leidmiseks

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Võrratuse lahendamiseks lahutage vasak pool teguriteks. Ruutpolünoomi saab teguriteks lahutada teisendusega ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kus x_{1} ja x_{2} on ruutvõrrandi ax^{2}+bx+c=0 lahendid.

$$x^{2}-x-1=0$$

Kõik võrrandid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Asendage a ruutvõrrandis väärtusega 1, b väärtusega -1 ja c väärtusega -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Tehke arvutustehted.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Lahendage võrrand x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}, kui ± on pluss ja kui ± on miinus.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Kirjutage võrratus saadud lahendeid kasutades ümber.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

Et korrutis oleks positiivne, peavad nii x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} kui ka x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} olema kas mõlemad negatiivsed või mõlemad positiivsed. Mõelge, mis juhtub, kui x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} ja x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} on mõlemad negatiivsed.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

Mõlemaid võrratusi rahuldav lahend on x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Mõelge, mis juhtub, kui x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} ja x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} on mõlemad positiivsed.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

Mõlemaid võrratusi rahuldav lahend on x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Lõplik lahend on saadud lahendite ühend.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$