Lahenda x^2+x+1=0

$${ x }^{ 2 } +x+1 = 0$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$x^{2}+x+1=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 1, b väärtusega 1 ja c väärtusega 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4}}{2}$$

Tõstke 1 ruutu.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4}}{2}$$

Liitke 1 ja -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

Leidke -3 ruutjuur.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2}, kui ± on pluss. Liitke -1 ja i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2}, kui ± on miinus. Lahutage i\sqrt{3} väärtusest -1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+x+1=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 1.

$$x^{2}+x+1-1=-1$$

1 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$x^{2}+x=-1$$

Jagage liikme x kordaja 1 2-ga, et leida \frac{1}{2}. Seejärel liitke \frac{1}{2} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Tõstke \frac{1}{2} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Liitke -1 ja \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Lahutage x^{2}+x+\frac{1}{4} teguriteks. Üldiselt, kui x^{2}+bx+c on täisruut, saab selle alati teguriteks lahutada kujul \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Lihtsustage.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$