Lahenda t^2-109t+900=0

$${ t }^{ 2 } -109t+900 = 0$$

Lahendage ja leidke t

$$t=9$$

$$t=100$$

Juhised teguriteks lahutamise kasutamisel

Võrrandi käivitamiseks t^{2}-109t+900 valemi abil t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=-109 ab=900$$

Kuna ab on positiivne, a ja b on sama märk. Kuna a+b on negatiivne, a ja b on mõlemad negatiivsed. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks 900.

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

Arvutage iga paari summa.

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

Lahendus on paar, mis annab summa -109.

$$a=-100 b=-9$$

Kirjutage teguriteks jaotatud avaldis \left(t+a\right)\left(t+b\right) saadud väärtuste abil ümber.

$$\left(t-100\right)\left(t-9\right)$$

Võrrandi lahenduste leidmiseks Lahendage t-100=0 ja t-9=0.

$$t=100 t=9$$

Juhised rühmitamise kaudu teguriteks lahutamise kasutamisel

Võrrandi lahendamiseks jaotage võrrandi vasak pool rühmitamise abil teguriteks. Esmalt tuleb vasak pool ümber kirjutada kujul t^{2}+at+bt+900. a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=-109 ab=1\times 900=900$$

Kuna ab on positiivne, a ja b on sama märk. Kuna a+b on negatiivne, a ja b on mõlemad negatiivsed. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks 900.

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

Arvutage iga paari summa.

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

Lahendus on paar, mis annab summa -109.

$$a=-100 b=-9$$

Kirjutaget^{2}-109t+900 ümber kujul \left(t^{2}-100t\right)+\left(-9t+900\right).

$$\left(t^{2}-100t\right)+\left(-9t+900\right)$$

Lahutage t esimesel ja -9 teise rühma.

$$t\left(t-100\right)-9\left(t-100\right)$$

Tooge liige t-100 distributiivsusomadust kasutades sulgude ette.

$$\left(t-100\right)\left(t-9\right)$$

Võrrandi lahenduste leidmiseks Lahendage t-100=0 ja t-9=0.

$$t=100 t=9$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$t^{2}-109t+900=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 1, b väärtusega -109 ja c väärtusega 900.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{\left(-109\right)^{2}-4\times 900}}{2}$$

Tõstke -109 ruutu.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{11881-4\times 900}}{2}$$

Korrutage omavahel -4 ja 900.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{11881-3600}}{2}$$

Liitke 11881 ja -3600.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{8281}}{2}$$

Leidke 8281 ruutjuur.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±91}{2}$$

Arvu -109 vastand on 109.

$$t=\frac{109±91}{2}$$

Nüüd lahendage võrrand t=\frac{109±91}{2}, kui ± on pluss. Liitke 109 ja 91.

$$t=\frac{200}{2}$$

Jagage 200 väärtusega 2.

$$t=100$$

Nüüd lahendage võrrand t=\frac{109±91}{2}, kui ± on miinus. Lahutage 91 väärtusest 109.

$$t=\frac{18}{2}$$

Jagage 18 väärtusega 2.

$$t=9$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$t=100 t=9$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-109t+900=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 900.

$$t^{2}-109t+900-900=-900$$

900 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$t^{2}-109t=-900$$

Jagage liikme x kordaja -109 2-ga, et leida -\frac{109}{2}. Seejärel liitke -\frac{109}{2} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$t^{2}-109t+\left(-\frac{109}{2}\right)^{2}=-900+\left(-\frac{109}{2}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{109}{2} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$t^{2}-109t+\frac{11881}{4}=-900+\frac{11881}{4}$$

Liitke -900 ja \frac{11881}{4}.

$$t^{2}-109t+\frac{11881}{4}=\frac{8281}{4}$$

Lahutage t^{2}-109t+\frac{11881}{4}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{109}{2}\right)^{2}=\frac{8281}{4}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(t-\frac{109}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8281}{4}}$$

Lihtsustage.

$$t-\frac{109}{2}=\frac{91}{2} t-\frac{109}{2}=-\frac{91}{2}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{109}{2}.

$$t=100 t=9$$