Lahenda sqrt{x}=x-1

$$\sqrt{ x } =x-1$$

Lahendage ja leidke x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2,618033989$$

Lahenduse etapid

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{x} ja leidke x.

$$x=\left(x-1\right)^{2}$$

Kasutage kaksliikme \left(x-1\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x=x^{2}-2x+1$$

Lahutage mõlemast poolest x^{2}.

$$x-x^{2}=-2x+1$$

Liitke 2x mõlemale poolele.

$$x-x^{2}+2x=1$$

Kombineerige x ja 2x, et leida 3x.

$$3x-x^{2}=1$$

Lahutage mõlemast poolest 1.

$$3x-x^{2}-1=0$$

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$-x^{2}+3x-1=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega -1, b väärtusega 3 ja c väärtusega -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Tõstke 3 ruutu.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korrutage omavahel -4 ja -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korrutage omavahel 4 ja -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2\left(-1\right)}$$

Liitke 9 ja -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Korrutage omavahel 2 ja -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}, kui ± on pluss. Liitke -3 ja \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{-2}$$

Jagage -3+\sqrt{5} väärtusega -2.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}, kui ± on miinus. Lahutage \sqrt{5} väärtusest -3.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{-2}$$

Jagage -3-\sqrt{5} väärtusega -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Asendage x võrrandis \sqrt{x}=x-1 väärtusega \frac{3-\sqrt{5}}{2}.

$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}-1$$

Lihtsustage. Väärtus x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} ei vasta võrrandile, sest vasakul ja paremal pool on vastandmärgid.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Asendage x võrrandis \sqrt{x}=x-1 väärtusega \frac{\sqrt{5}+3}{2}.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\frac{\sqrt{5}+3}{2}-1$$

Lihtsustage. Väärtus x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} vastab võrrandile.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Võrrandil \sqrt{x}=x-1 on ainus lahendus.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$