Lahenda sqrt{2x-3}=2+sqrt{x-5}

$$\sqrt{ 2x-3 } = 2+ \sqrt{ x-5 }$$

Lahendage ja leidke x

$$x=14$$

$$x=6$$

Lahenduse etapid

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{2x-3} ja leidke 2x-3.

$$2x-3=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Kasutage kaksliikme \left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{x-5} ja leidke x-5.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+x-5$$

Lahutage 5 väärtusest 4, et leida -1.

$$2x-3=-1+4\sqrt{x-5}+x$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest -1+x.

$$2x-3-\left(-1+x\right)=4\sqrt{x-5}$$

Avaldise "-1+x" vastandi leidmiseks tuleb leida iga liikme vastand.

$$2x-3+1-x=4\sqrt{x-5}$$

Liitke -3 ja 1, et leida -2.

$$2x-2-x=4\sqrt{x-5}$$

Kombineerige 2x ja -x, et leida x.

$$x-2=4\sqrt{x-5}$$

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Kasutage kaksliikme \left(x-2\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-4x+4=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Laiendage \left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste 4 ja leidke 16.

$$x^{2}-4x+4=16\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{x-5} ja leidke x-5.

$$x^{2}-4x+4=16\left(x-5\right)$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada 16 ja x-5.

$$x^{2}-4x+4=16x-80$$

Lahutage mõlemast poolest 16x.

$$x^{2}-4x+4-16x=-80$$

Kombineerige -4x ja -16x, et leida -20x.

$$x^{2}-20x+4=-80$$

Liitke 80 mõlemale poolele.

$$x^{2}-20x+4+80=0$$

Liitke 4 ja 80, et leida 84.

$$x^{2}-20x+84=0$$

Võrrandi käivitamiseks x^{2}-20x+84 valemi abil x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=-20 ab=84$$

Kuna ab on positiivne, a ja b on sama märk. Kuna a+b on negatiivne, a ja b on mõlemad negatiivsed. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks 84.

$$-1,-84 -2,-42 -3,-28 -4,-21 -6,-14 -7,-12$$

Arvutage iga paari summa.

$$-1-84=-85 -2-42=-44 -3-28=-31 -4-21=-25 -6-14=-20 -7-12=-19$$

Lahendus on paar, mis annab summa -20.

$$a=-14 b=-6$$

Kirjutage teguriteks jaotatud avaldis \left(x+a\right)\left(x+b\right) saadud väärtuste abil ümber.

$$\left(x-14\right)\left(x-6\right)$$

Võrrandi lahenduste leidmiseks Lahendage x-14=0 ja x-6=0.

$$x=14 x=6$$

Asendage x võrrandis \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5} väärtusega 14.

$$\sqrt{2\times 14-3}=2+\sqrt{14-5}$$

Lihtsustage. Väärtus x=14 vastab võrrandile.

$$5=5$$

Asendage x võrrandis \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5} väärtusega 6.

$$\sqrt{2\times 6-3}=2+\sqrt{6-5}$$

Lihtsustage. Väärtus x=6 vastab võrrandile.

$$3=3$$

Loetle kõik võrrandi \sqrt{2x-3}=\sqrt{x-5}+2 lahendused.

$$x=14 x=6$$